代数的トポロジーのための代数幾何学の基本

一口に代数幾何学と言っても, 複素多様体論に近いものから数論に応用されるものまで広範な分野を含み, 専門外の人間にはどこから手をつけてよいか皆目見当が付かない。

現代の代数幾何学の基本である scheme に関連した基本的な事項を学ぶだけなら, Eisenbud と Harris の本 [EH92] が簡潔にまとめられていてよいかもしれない。定番は Hartshorne の本 [Har77] だろうが。 より幾何学的な視点からは Griffiths と Harris の教科書 [GH94] がある。もちろん, 日本語でもいくつか入門書が出ている。

Grothendieck 流の代数幾何学の基本的な文献は, EGA と SGA であるが, 最近, これらが再版されたり web で公開されたりするようになった。SGA は SGA のページで web page として閲覧したり, PDF file を download したりできる。 スキャナで画像として読み込んだものなのであまりきれいではないが。SGA 1 [SGA103] と 2 [SGA2] は TeX で打ち直したものを arXiv から入手でき, 当然ながらこれは非常にきれいに仕上がっている。

トポロジーを知っている人にとっての一つのアプローチとしては, compact Hausdorff 空間の圏と可換な \(C^*\)-algebra の圏との間の同値の代数的な類似を考えて見るという方法がある。

• Gel\('\)fand-Naimark duality

関数環を取ることによる affine algebraic variety と可換環との間の対応をみてみると, affine algebraic variety という概念が不完全なものであることがわかるだろう。そして, affine algebraic variety を含み可換環全体に対応するものとして affine scheme を学べば自然に受け入れられるのではないだろうか。そのためには, もちろん可換環論の基礎を知っていないといけない。

ただ, 逆に Gel\('\)fand-Naimark duality では極大イデアルしか使わないので, 代数幾何ではどうして素イデアル全体を考えるのか疑問に思うかもしれない。 そう思う人はやはりいるようで, Secret Blogging Seminar のこの post で話題になっている。

• 可換環の prime ideal spectrum \(\mathrm {Spec}\)
• affine algebraic variety
• affine scheme
• Zariski topology
• affine scheme の圏が commutative ring の圏と contravariant に同値であること。
• scheme

トポロジーの視点からは, 構造層を忘れ, 可換環 \(R\) の prime ideal spectrum \(\mathrm {Spec}(R)\) として表される位相空間はどういう種類の位相空間か, という疑問も湧いてくる。 これについては, Hochster [Hoc69] が spectral space という概念を導入し特徴付けを与えている。 最近では, Finocchiaro が中心に調べているようで, [FFL13; Fin14] で新しい特徴付けが与えられている。 また [FFJ] では一般化が導入されている。

• spectral space

Affine scheme を貼り合せて scheme ができるが, それについては functor of points の視点から考えることもできる。これにより, scheme の様々な一般化が考えられるようになる。例えば, derived algebraic geometry など。

• functor of points としての scheme

Functor of points については, Eisenbud と Harris の薄い本 [EH92]にも書いてあるが, 厚い本 [EH00] の §I.4 を読んでから, 第VI章を読むとよいと思う。

Scheme は 安定ホモトピー論でも使われるが, formal scheme が主役となるなど, 代数幾何の基礎となっているものとは異なる扱いが必要になる。それについては, Strickland の [Str99] にまとめられている。

可換環に対応するのが scheme なら, その上の module に対応するのが (quasi-)coherent sheafである。

• quasi-coherent sheaf
• 可換環 \(R\) に対し \(R\) 上の加群の圏と \(\mathrm {Spec}(R)\) 上の quasi-coherent sheaf の圏は同値である。
• 「良い」scheme は, その上の quasi-coherent sheaf の成す Abel 圏から reconstruct できる。 [Gab62; Ros98]
• coherent sheaf

古くから代数的トポロジーに関係している重要な定理としては, 以下のものがある。

• Riemann-Roch の定理

References

[EH00]

David Eisenbud and Joe Harris. The geometry of schemes. Vol. 197. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2000, pp. x+294. isbn: 0-387-98638-3; 0-387-98637-5.

[EH92]

David Eisenbud and Joe Harris. Schemes. The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. The language of modern algebraic geometry. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, 1992, pp. xii+157. isbn: 0-534-17606-2; 0-534-17604-6.

[FFJ]

Alberto Facchini, Carmelo Antonio Finocchiaro, and George Janelidze. Abstractly constructed prime spectra. arXiv: 2104.09840.

[FFL13]

Carmelo A. Finocchiaro, Marco Fontana, and K. Alan Loper. “Ultrafilter and constructible topologies on spaces of valuation domains”. In: Comm. Algebra 41.5 (2013), pp. 1825–1835. arXiv: 1202.2451. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2011.651760.

[Fin14]

Carmelo Antonio Finocchiaro. “Spectral spaces and ultrafilters”. In: Comm. Algebra 42.4 (2014), pp. 1496–1508. arXiv: 1309.5190. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2012.741875.

[Gab62]

Pierre Gabriel. “Des catégories abéliennes”. In: Bull. Soc. Math. France 90 (1962), pp. 323–448.

[GH94]

Phillip Griffiths and Joseph Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley Classics Library. Reprint of the 1978 original. New York: John Wiley & Sons Inc., 1994, pp. xiv+813. isbn: 0-471-05059-8.

[Har77]

Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. New York: Springer-Verlag, 1977, pp. xvi+496. isbn: 0-387-90244-9.

[Hoc69]

M. Hochster. “Prime ideal structure in commutative rings”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 142 (1969), pp. 43–60. url: https://doi.org/10.2307/1995344.

[Ros98]

Alexander L. Rosenberg. “The spectrum of abelian categories and reconstruction of schemes”. In: Rings, Hopf algebras, and Brauer groups (Antwerp/Brussels, 1996). Vol. 197. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 1998, pp. 257–274.

[SGA103]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie 1960-61], Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud, Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR0354651 (50 #7129)]. Paris: Société Mathématique de France, 2003, pp. xviii+327. isbn: 2-85629-141-4. arXiv: math/0206203.

[SGA2]

Alexander Grothendieck and Michele Raynaud. Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2). arXiv: math/0511279.

[Str99]

Neil P. Strickland. “Formal schemes and formal groups”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 263–352. arXiv: math/0011121. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/239/03608.