Grothendieck のアイデアから発展した分野

代数幾何を近代化したのは, もちろん Grothendieck の業績である。代数幾何にとどまらず, 1970年に IHES を辞めてからも, Grothendieck の数学は様々な分野に影響を与え続けている。

Grothendieck については, 山下純一氏による伝記 [山下純03] を読むのがよいだろう。独自の調査により, 非常に詳しい情報が書いてある。Cartier による Bulletin of A.M.S. の記事 [Car01] もある。やはり Grothendieck の数学のファンは多いようで, Grothendieck Circle という website もある。 未出版のものも含めた Grothendieck の著作などのPDFファイルを download できる。 Mateo Carmona による site もある。

Grothendieck に関する website は, 他にも色々あり, この nLab のページからリンクが張られている。

Grothendieck の数学を勉強するにはかなりのエネルギーを必要とするが, 最近はいくつか解説もある。例えば, Étale cohomology に関しては, Milne の本 [Mil80] や Freitag と Kiehl の本 [FK88] がある。 また Grothendieck topology や topos などについては, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM96; MM94] や Borceux の Handbook の第三巻 [Bor94] がある。Mark Johnson の [Joh01] もよい入門となる。代数的トポロジーのための scheme の扱いについては, Strickland の解説 [Str99] がよい。他には Vistoli の [Vis05] がある。

代数幾何の基礎として導入したのが, scheme の概念であるが, 他の分野にも用いられるようなった基礎的な概念で Grothendieck が提示したものとしては, まずは topos が挙げられる。

• scheme
• Grothendieck topology
• topos

次に, (co)fibered category などであるが, これはホモトピー論では, 例えば Quillen が higher Algebraic \(K\)-theory を定義した [Qui73] で用いられている。 もっとも, その \(K\)-theory の起源自体 Grothendieck によるものであるが。 関連した構成として, small category の図式から一つの small category を作る Grothendieck construction と呼ばれるものがある。これは, もともと SGA1 [SGA103] で prestack と fibered category 間の対応として構成されたものである。

• Grothendieck group
• fibered category や cofibered category
• Grothendieck construction
• stack

André-Quillen (co)homology の定義では, cotangent complex が用いられている。Cotangent complex といえば Illusie の [Ill71; Ill72] であるが, ホモトピー論的には model category の言葉で考えた方が分かりやすい。

• cotangent complex

このように, Grothendieck のアイデアにはホモトピー論で発見された概念と共通するものも多い。実際, Grothendieck は, model category について考察したこともあるようである。

Grothendieck の数学をトポロジーに導入したのは, Atiyah と Hirzebruch の topological \(K\)-theory の仕事が最初だろう。 ホモトピー論では, Quillen [Qui68] が最初だろう。 Étale homotopy 論は, その後 Friedlander を中心に研究された。逆に, Friedlander の学生だった Joshua は, Becker-Gottlieb transfer や Spanier-Whitehead dual など, いくつかの安定ホモトピー論における概念を, 代数幾何に導入することに成功 [Jos86; Jos87] している。

• étale topology
• Nisnevich topology

Scheme の cohomology としては, local cohomology も Grothendieck が導入したものである。

• local cohomology

“Scheme のホモトピー論”と言えるものを完成させたのは, 90年代の Voevodsky の仕事であると言っていいだろう。その解説として [Dug] がある。Grothendieck が提案した motif の圏を構成するという問題へのアプローチの一つである。

• motif

逆に, 位相空間から代数幾何的 object を作るということも行なわれている。 [Toë06; KPT09] などである。

数理物理やそれに関連した代数幾何や quantum algebra などでもstack や, 次のような概念が一般的に使われるようになってきた。これらも Grothendieck のアイデアが元になっているものである。

• torsor
• gerbe

Derivateur という概念もある。英語だと derivator というのだろうか。 Georges Maltsiniotis の website に Grothendieck の未発表原稿のファイルが置いてある。

• derivator

Riemann 面の moduli などに関係したこととして, dessins d’enfant という概念がある。曲面上に描かれた (埋め込まれた) quiver のことであるが。

• dessins d’enfant

これは, 素朴な概念なので, 様々な分野で独立に登場し使われている。

References

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 3. Vol. 52. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories of sheaves. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+522. isbn: 0-521-44180-3.

[Car01]

Pierre Cartier. “A mad day’s work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry [in Les relations entre les mathématiques et la physique théorique, 23–42, Inst. Hautes Études Sci., Bures-sur-Yvette, 1998; MR1667896 (2000c:01028)]”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38.4 (2001). Translated from the French by Roger Cooke, 389–408 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00913-2.

[Dug]

Daniel Dugger. Notes on the Milnor conjectures. arXiv: math/ 0408436.

[FK88]

Eberhard Freitag and Reinhardt Kiehl. Étale cohomology and the Weil conjecture. Vol. 13. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Translated from the German by Betty S. Waterhouse and William C. Waterhouse, With an historical introduction by J. A. Dieudonné. Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp. xviii+317. isbn: 3-540-12175-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-02541-3.

[Ill71]

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[Ill72]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. II. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. vii+304.

[Joh01]

Mark W. Johnson. “A sheaf-theoretic view of loop spaces”. In: Theory Appl. Categ. 8 (2001), pp. 490–508.

[Jos86]

Roy Joshua. “Spanier-Whitehead duality in étale homotopy”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 296.1 (1986), pp. 151–166. url: http://dx.doi.org/10.2307/2000566.

[Jos87]

Roy Joshua. “Becker-Gottlieb transfer in étale homotopy”. In: Amer. J. Math. 109.3 (1987), pp. 453–497. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374564.

[KPT09]

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[Mil80]

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[MM94]

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[MM96]

S. MacLane and I. Moerdijk. “Topos theory”. In: Handbook of algebra, Vol. 1. Amsterdam: North-Holland, 1996, pp. 501–528. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(96)80018-0.

[Qui68]

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[Qui73]

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[SGA103]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie 1960-61], Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud, Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR0354651 (50 #7129)]. Paris: Société Mathématique de France, 2003, pp. xviii+327. isbn: 2-85629-141-4. arXiv: math/0206203.

[Str99]

Neil P. Strickland. “Formal schemes and formal groups”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 263–352. arXiv: math/0011121. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/239/03608.

[Toë06]

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[Vis05]

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[山下純03]

山下純一. グロタンディーク. 東京: 日本評論社, 2003, p. 173.