Torsor

Torsor は, “principal homogeneous space” として代数幾何学や Poisson geometry などで使われている構造である。古典的には, Giraud の本 [Gir71] で定義されているように, 群 \(G\) とそれが作用する object \(T\) の組から成る。 Guillot と Kassels [GKM12] によると, その主な用途の一つは \(G\) の作用を twist することのようである。

実は, torsor はこのように群を指定しないで, \(T\) に関する条件だけでも定義できる。 群 \(G\) に対し, \((a,b,c) \mapsto ab^{-1}c\) で定義される 3つの入力を持つ写像 \[ G\times G \times G \longrightarrow G \] と同じ等式をみたす写像 (morphism) を持つ集合 (object) とみなすのがよいようである。

Schauenburg [Schb] や Grunspan [Gru03] によると, そのような構造は最初1929年に Baer により調べられ, その後 Certaine [Cer43], Vagner [Vag51], Kock [Koc82], Weinstein [Wei90] により研究されたようである。 私は, Kontsevich の [Kon99] で知った。 Skoda [Ško07] は, Bergman と Hausknecht の本 [BH96] を参照している。

組み合せ論 (グラフ理論) に現れる例としては, sandpile group に関係したものがある。

• sandpile group

このように考えると, symmetric monoidal category での comonoid object に対して torsor の概念が定義できる。同じものは, Skoda の [Ško07] では heap と呼ばれている。

Kontsevich の論文には, object が2つの groupoid としての記述もある。

• symmetric monoidal category の comonoid object に対する torsor の構造の定義
• torsor は object が2つで連結な groupoid のこと

Skoda は, 更に quantum heap を定義しているが, それとほぼ同じものを Grunspan が [Gru03] で quantum torsor として定義している。

• quantum torsor

これは, Kontsevich の意味の torsor の関数環が“3つの出力を持つ” coproduct の構造により特徴づけられることから, torsor の定義を dual にし, symmetric monoidal category の monoid object に適用したものである。 非可換化の標準的な手順に則ったものであると言える。

Schauenberg [Schb] によると, 古典的な torsor の非可換化として, Hopf algebra の extension のために Kreimer と Takeuchi [KT81] により定義された Hopf-Galois object がある。Schauenberg は [Scha] で Grunspan の quantum torsor と Hopf-Galois object との関係を調べている。また [Schb] で, Grunspan の quantum torsor の定義を簡略化している。

• Hopf-Galois object

Böhm ら [BB07; BM11] は, pre-torsor という一般化を定義し調べている。 そして, quantum groupoid 上の quantum principal bundle を quantum torsor (の一般化) の言葉で表すことを考えている。

• pre-torsor

一方, Brzeziński ら [BV09] は, 同様の目的で bimodule herd という概念を考えている。そして, [BVV11] で pre-torsor との関係を調べている。

• bimodule herd

非可換版は, Booker と Street により [BS11] でも考えられている。 そこでは, herd の高次化も考えられていて, flock と呼ばれている。

• flock

群は集合の圏での monoid object で inverse を持つものだから, monoid object の一般化に対しても torsor の概念を拡張できそうである。 例えば, dg operad に対しては, Campos と Willwacher [CW16] により operadic torsor という概念が定義されている。

• operadic torsor

Deligne conjecture の証明に使えるようである。

References

[BB07]

Gabriella Böhm and Tomasz Brzeziński. “Pre-torsors and equivalences”. In: J. Algebra 317.2 (2007), pp. 544–580. arXiv: math/0607529. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.08.023.

[BH96]

George M. Bergman and Adam O. Hausknecht. Co-groups and co-rings in categories of associative rings. Vol. 45. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. x+388. isbn: 0-8218-0495-2.

[BM11]

Gabriella Böhm and Claudia Menini. “Pre-torsors and Galois comodules over mixed distributive laws”. In: Appl. Categ. Structures 19.3 (2011), pp. 597–632. arXiv: 0806 . 1212. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9185-9.

[BS11]

Thomas Booker and Ross Street. “Torsors, herds and flocks”. In: J. Algebra 330 (2011), pp. 346–374. arXiv: 0912 . 4551. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.12.009.

[BV09]

Tomasz Brzeziński and Joost Vercruysse. “Bimodule herds”. In: J. Algebra 321.9 (2009), pp. 2670–2704. arXiv: 0805.2510. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.01.020.

[BVV11]

Tomasz Brzeziński, Adrian Vazquez Marquez, and Joost Vercruysse. “The Eilenberg-Moore category and a Beck-type theorem for a Morita context”. In: Appl. Categ. Structures 19.5 (2011), pp. 821–858. arXiv: 0811.4304. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-009-9217-0.

[Cer43]

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[CW16]

Ricardo Campos and Thomas Willwacher. “Operadic torsors”. In: J. Algebra 458 (2016), pp. 71–86. arXiv: 1412.3614. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.03.017.

[Gir71]

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[GKM12]

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[Gru03]

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[Koc82]

Anders Kock. “The algebraic theory of moving frames”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 23.4 (1982), pp. 347–362.

[Kon99]

Maxim Kontsevich. “Operads and motives in deformation quantization”. In: Lett. Math. Phys. 48.1 (1999). Moshé Flato (1937–1998), pp. 35–72. arXiv: math/9904055. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007555725247.

[KT81]

H. F. Kreimer and M. Takeuchi. “Hopf algebras and Galois extensions of an algebra”. In: Indiana Univ. Math. J. 30.5 (1981), pp. 675–692. url: http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1981.30.30052.

[Scha]

Peter Schauenburg. Quantum torsors and Hopf-Galois objects. arXiv: math/0208047.

[Schb]

Peter Schauenburg. Quantum torsors with fewer axioms. arXiv: math/0302003.

[Ško07]

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[Vag51]

V. V. Vagner. “Ternary algebraic operations in the theory of coordinate structures”. In: Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.) 81 (1951), pp. 981–984.

[Wei90]

Alan Weinstein. “Affine Poisson structures”. In: Internat. J. Math. 1.3 (1990), pp. 343–360. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X90000186.