Fibration や fiber bundle の非可換版

Fibration や fiber bundle の非可換版には, 様々なモデルが提案されているようである。

Fiber bundle の非可換化を理解するためには, まず fiber bundle, 特に principal bundle を局所自明化を用いないで表わすことを理解しなければならない。 これについては, Baum, Hajac, Matthes, Szymanski の [Bau+] という解説があるので, まずはこれを読んでみるのがよいだろう。

• 位相群 \(G\) に対し principal \(G\)-bundle と \(G\)-torsor の関係

Kassel の [Kas] にあるように, この関係の非可換版から, Hopf-Galois extension を noncommutative principal bundle と呼ぶのがよいようである。 そこでは, Schneider の [Sch90] が挙げられている。

一方, Durdević [Durb; Dur96; Dur97; Dura; Dur10] による定義では, Hopf-Galois extension は使われてない。 Hopf-Galois extension によるものとの比較は, [Durc] で行なわれている。

Böhm と Brzeziński の [BB07] によると, \(A\)-\(B\) torsor は, quantum groupoid 上の quantum principal bundle とみなすことができる, らしい。

具体例としては, Zampini の [Zam11] で考えられている Hopf bundle \(S^3\to S^2\) の非可換版がある。 Landi らの [LS05; BL12] では, Hopf bundle \(S^7 \to S^4\) の noncommutative version が考えられている。

同じく \(S^7 \to S^4\) の量子化を spectral triple を用いて考えているのは, D’Andrea [DAn] である。Twisted spectral triple という概念を用いると, quantum homogeneous space を定義できるという。

\(C^{*}\)-algebra の文脈では, 位相群を locally compact quantum groupを取り替えるべきで, “noncommutative space” に locally compact quantum group が free かつ proper に作用している場合に, noncommutative principal bundle と呼ぶようである。De Commer と Yamashita の [DY13] など。

Fibration の非可換版については, fiber bundle ほど考えられていないようであるが, それでも \(C^*\)-algebra の世界で homotopy lifting property の類似を考えている人はいる。Echterhoff と Nest と Oyono-Oyono の [ENO09] など。

References

[Bau+]

Paul F. Baum, Piotr M. Hajac, Rainer Matthes, and Wojciech Szymanski. Noncommutative Geometry Approach to Principal and Associated Bundles. arXiv: math/0701033.

[BB07]

Gabriella Böhm and Tomasz Brzeziński. “Pre-torsors and equivalences”. In: J. Algebra 317.2 (2007), pp. 544–580. arXiv: math/0607529. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.08.023.

[BL12]

Simon Brain and Giovanni Landi. “Moduli spaces of non-commutative instantons: gauging away non-commutative parameters”. In: Q. J. Math. 63.1 (2012), pp. 41–86. arXiv: 0909. 4402. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haq036.

[DAn]

Francesco D’Andrea. Quantum Groups and Twisted Spectral Triples. arXiv: math/0702408.

[Dura]

Mico Durdevic. Geometry of Quantum Principal Bundles II-Extended Version. arXiv: q-alg/9412005.

[Durb]

Mico Durdevic. Quantum Principal Bundles. arXiv: hep - th / 9311029.

[Durc]

Mico Durdevic. Quantum Principal Bundles as Hopf-Galois Extensions. arXiv: q-alg/9507022.

[Dur10]

Micho Durdevich. “Geometry of quantum principal bundles III”. In: Algebras Groups Geom. 27.3 (2010), pp. 247–336.

[Dur96]

Mićo Durdević. “Geometry of quantum principal bundles. I”. In: Comm. Math. Phys. 175.3 (1996), pp. 457–520. arXiv: q-alg/9507019. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104276091.

[Dur97]

Mićo Durdević. “Geometry of quantum principal bundles. II”. In: Rev. Math. Phys. 9.5 (1997), pp. 531–607. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X9700021X.

[DY13]

Kenny De Commer and Makoto Yamashita. “A construction of finite index \(\mathrm {C}^*\)-algebra inclusions from free actions of compact quantum groups”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 49.4 (2013), pp. 709–735. arXiv: 1201.4022. url: https://doi.org/10.4171/PRIMS/117.

[ENO09]

Siegfried Echterhoff, Ryszard Nest, and Hervé Oyono-Oyono. “Fibrations with noncommutative fibers”. In: J. Noncommut. Geom. 3.3 (2009), pp. 377–417. arXiv: 0810 . 0118. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/41.

[Kas]

Christian Kassel. Hopf algebras and polynomial identities. arXiv: 1009.3180.

[LS05]

Giovanni Landi and Walter van Suijlekom. “Principal fibrations from noncommutative spheres”. In: Comm. Math. Phys. 260.1 (2005), pp. 203–225. arXiv: math/0410077. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-005-1377-7.

[Sch90]

Hans-Jürgen Schneider. “Principal homogeneous spaces for arbitrary Hopf algebras”. In: Israel J. Math. 72.1-2 (1990). Hopf algebras, pp. 167–195. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02764619.

[Zam11]

Alessandro Zampini. “Laplacians and gauged Laplacians on a quantum Hopf bundle”. In: Quantum groups and noncommutative spaces. Aspects Math., E41. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2011, pp. 164–240. arXiv: 1003.5598. url: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9831-9_10.