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モチーフ (motif あるいは motive) とは, Grothendieck が, 代数幾何学で現れる cohomology theory の中で
universal なものを考える仮定で提案した概念である。
様々なアプローチがあり, 様々な解説が書かれている。
- Connes と Marcolli の本 [CM08] の Chapter 1 の section 1 “Motives in a
nutshell” を最初に読むとよいかもしれない。
- Connes と Marcolli は André の本 [And04] と [JKS94a; JKS94b] を勧めている。
- Panin と Yagunov [PY09] は Maninの [Man68] を勧めている。
- Manin は historical survey [Man14] も書いている。
- 歴史的な観点からは, Cisinski と Deglise の [CD19] の Introduction もある。
- B. Mazur による “WHAT IS \(\ldots \)” [Maz04] がある。
- Milne の解説 [Mil13] もよい。
- Baez の「素人による解説」 [Bae] も分り易い。最後に “Further reading” があるのもよい。
Grothendieck は, Abelian category として構成することを考えていたが, 代数的トポロジーの視点から見ると,
universal cohomology theory が定義されるのは stable homotopy category に対応する
category なので, triangulated category か, それに近い構造を持つはずである。逆に, Abelian category
として定義しようとするのは理解できない。
実際, Voevodsky が代数的トポロジーのアイデアに基づいて triangulated category として構成することに成功し,
motivic homotopy theory という分野に発展している。
References
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[And04]
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Yves André. Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs
mixtes, périodes). Vol. 17. Panoramas et Synthèses [Panoramas
and Syntheses]. Paris: Société Mathématique de France, 2004,
pp. xii+261. isbn: 2-85629-164-3.
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[Bae]
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John C. Baez. Motivating Motives. arXiv: 2304.08737.
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[CD19]
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Denis-Charles Cisinski and
Frédéric Déglise. Triangulated categories of mixed motives. Springer
Monographs in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xlii+406.
isbn: 978-3-030-33241-9; 978-3-030-33242-6. arXiv: 0912.2110. url:
https://doi.org/10.1007/978-3-030-33242-6.
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[CM08]
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Alain Connes and Matilde Marcolli. Noncommutative geometry,
quantum fields and motives. Vol. 55. American Mathematical
Society Colloquium Publications. Providence, RI: American
Mathematical Society, 2008, pp. xxii+785. isbn: 978-0-8218-4210-2.
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[JKS94a]
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Uwe Jannsen, Steven Kleiman, and Jean-Pierre Serre, eds. Motives.
Vol. 55. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American
Mathematical Society, Providence, RI, 1994, pp. xiv+747. isbn:
0-8218-1636-5.
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[JKS94b]
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Uwe Jannsen, Steven Kleiman, and Jean-Pierre Serre, eds. Motives.
Vol. 55. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American
Mathematical Society, Providence, RI, 1994, pp. xiv+676. isbn:
0-8218-1637-3.
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[Man14]
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Yuri I. Manin. “Forgotten motives: the varieties of scientific
experience”. In: Alexandre Grothendieck: a mathematical portrait.
Int. Press, Somerville, MA, 2014, pp. 299–307. arXiv: 1402.2155.
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[Man68]
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Ju. I. Manin. “Correspondences,
motifs and monoidal transformations”. In: Mat. Sb. (N.S.) 77 (119)
(1968), pp. 475–507.
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[Maz04]
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Barry Mazur. “What is \(\ldots \) a motive?” In: Notices Amer. Math. Soc.
51.10 (2004), pp. 1214–1216.
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[Mil13]
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James S. Milne. “Motives—Grothendieck’s dream”. In: Open
problems and surveys of contemporary mathematics. Vol. 6. Surv.
Mod. Math. Int. Press, Somerville, MA, 2013, pp. 325–342.
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[PY09]
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I. A. Panin and S. A. Yagunov. “A duality theorem for motives”.
In: Algebra i Analiz 21.2 (2009), pp. 205–213. arXiv: 0810.2160.
url: http://dx.doi.org/10.1090/S1061-0022-10-01096-4.
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