Lie群の互いに可換な元の組の成す空間

Lie群 \(G\) の中の可換な元の組の成す空間は, \(\Z \times \Z \) から \(G\) への準同形の成す空間 \(\Hom (\Z \times \Z ,G)\) と考えることができる。より一般に, \(G\) の互いに可換な \(n\) 個の元の成す空間 \(\Hom (\Z ^n,G)\) やそれを \(G\) の conjugation による作用で割った空間 \(\Hom (\Z ^n,G)/G\) は, 様々な場面で現れる。 自由アーベル群からの準同型は, その生成元の組で決まるから, 一種の configuration space と考えてもよい。

A. Adem と F. Cohen [AC07] は, \(\Hom (\Z ^n,G)\) が1回 suspension を取ることで wedge に分解することを示している。また, いくつかの場合に, そのホモロジーを計算している。Adem と Gomez [AG12] は, この stable splitting が有限生成 Abel 群 \(\pi \) のときにも \(\Hom (\pi ,G)\) に対して成り立つことを示している。

Adem と Cohen は, より一般の有限生成 discrete group \(\pi \) から Lie 群 \(G\) への準同型の成す空間 \(\Hom (\pi ,G)\) のホモトピー論的な性質も考えていて, \(G=O(n)\) や \(\SO (n)\) の場合に弧状連結成分を調べている。

もちろん, Adem と Cohen 以前にも, この手の空間は調べられている。Adem と Cohen の論文で参照されているのは, Goldman の [Gol88] である。 Adem と Cohen の後では, Torres-Giese と Sjerve の [TS08] などがある。

Lie 群論的な立場からその空間を調べたのが, Borel と Friedman と Morgan の 141 ページある [BFM02] である。その §1.10 には, この問題の歴史が簡単にまとめてある。その最後や, Baird の [Bai07] の Introduction に書いてあるが, 数理物理との関連は, やはり Witten によるようである。 Baird の論文には, Borel, Friedman, Morgan の論文の他に, Kac と Smilga の [KS00] が挙げられている。

Torres-Giese は Adem と Cohen と共に, \(G\) の commuting elements から simplicial space を作り, その分類空間 \(B_{\mathrm {com}}G\) が \(BG\) のある filtration の最初の段階であることを示している。

• classifying space of commuting elements

有限群の場合, 群論的な性質を調べるのに使えるようであるが, 分類空間のホモトピー型を調べるのには, どれぐら使えるのだろうか。Adem と Gómez の [AG15] は, その疑問に対する一つの答えといえるだろうか。 \(B_{\mathrm {com}}G\) のホモトピー論的な性質が調べられている。

具体的な Lie 群については, どれぐらいのことが分かっているのだろう。Adem と Cohen と Gómez [ACG13] は, \(\mathrm {SU}(n)\) に関連した群について調べている。 \(\mathrm {SU}(2)\) の場合は, \(1\)回 suspension をとった空間のホモトピー型 はBaird と Jeffery と Selick [BJS11] により決定されている。Adem, Cohen, Gomez [ACG10] は, 一般の compact Lie群の commuting elements の成す空間は, \(1\) suspensionで分解することを示している。

Adem, Gómez, Lind, Tillmann [Ade+17] は, \(K\)-theory を表現する infinite loop space の場合を調べている。 Gritschacher [Gri18] は, \(B_{\mathrm {com}}U\) で表現される cohomology theory を commutative complex \(K\)-theory と呼んでいる。

References

[AC07]

Alejandro Adem and Frederick R. Cohen. “Commuting elements and spaces of homomorphisms”. In: Math. Ann. 338.3 (2007), pp. 587–626. arXiv: math/0603197. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-007-0089-z.

[ACG10]

Alejandro Adem, Frederick R. Cohen, and José Manuel Gómez. “Stable splittings, spaces of representations and almost commuting elements in Lie groups”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 149.3 (2010), pp. 455–490. arXiv: 1010 . 0735. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004110000277.

[ACG13]

Alejandro Adem, F. R. Cohen, and José Manuel Gómez. “Commuting elements in central products of special unitary groups”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 56.1 (2013), pp. 1–12. arXiv: 0905. 2895. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0013091512000144.

[Ade+17]

Alejandro Adem, José Manuel Gómez, John A. Lind, and Ulrike Tillmann. “Infinite loop spaces and nilpotent K-theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.2 (2017), pp. 869–893. arXiv: 1503.02526. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.869.

[AG12]

Alejandro Adem and José Manuel Gómez. “On the structure of spaces of commuting elements in compact Lie groups”. In: Configuration spaces. Vol. 14. CRM Series. Ed. Norm., Pisa, 2012, pp. 1–26. arXiv: 1203.5439. url: https://doi.org/10.1007/978-88-7642-431-1_1.

[AG15]

Alejandro Adem and José Manuel Gómez. “A classifying space for commutativity in Lie groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.1 (2015), pp. 493–535. arXiv: 1309 . 0128. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.493.

[Bai07]

Thomas John Baird. “Cohomology of the space of commuting \(n\)-tuples in a compact Lie group”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 737–754. arXiv: math/0610761. url: https://doi.org/10.2140/agt.2007.7.737.

[BFM02]

Armand Borel, Robert Friedman, and John W. Morgan. “Almost commuting elements in compact Lie groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 157.747 (2002), pp. x+136. arXiv: math/9907007.

[BJS11]

Thomas Baird, Lisa C. Jeffrey, and Paul Selick. “The space of commuting \(n\)-tuples in \(\mathrm {SU}(2)\)”. In: Illinois J. Math. 55.3 (2011), 805–813 (2013). arXiv: 0911.4953. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1369841785.

[Gol88]

William M. Goldman. “Topological components of spaces of representations”. In: Invent. Math. 93.3 (1988), pp. 557–607. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01410200.

[Gri18]

Simon Philipp Gritschacher. “The spectrum for commutative complex \(K\)-theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 18.2 (2018), pp. 1205–1249. arXiv: 1611. 03644. url: https://doi.org/10.2140/agt.2018.18.1205.

[KS00]

V. G. Kac and A. V. Smilga. “Vacuum structure in supersymmetric Yang-Mills theories with any gauge group”. In: The many faces of the superworld. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2000, pp. 185–234. arXiv: hep-th/9902029.

[TS08]

E. Torres Giese and D. Sjerve. “Fundamental groups of commuting elements in Lie groups”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 40.1 (2008), pp. 65–76. arXiv: math / 0609375. url: https://doi.org/10.1112/blms/bdm094.