Bergman Complexes and Bergman Fans

Dlugosch の [Dlu14] によると, Bergman fan は, Bergman の [Ber71] で logarithmic limit-set として定義されたのが最初のようである。 tropical algebraic geometry の主要な研究対象である。 Bergman fan については, 例えば, Feichtner と Sturmfels の [FS05] に詳しい。更に, De Concini と Procesi の arrangement の complement の wonderful model に現われる nested set complex や matroid polytope についても書いてある。

そこにも書かれているように, Bergman fan は, 本質的には matroid の情報で定義されるものである。 単位球面と intersection を取ることにより, Bergman complex と呼ばれる polyhedral complex が得られる。これも matroid から決まるものである。

Zharkov [Zha13] は, Euclid空間の中の integral polyhedral fan に対する tropical homology や cohomology を考えていて, matroid の Bergman fan の場合は, tropical cohomology はその matroid の Orlik-Solomon algebra に一致すると言っている。彼が tropical (co)homology について参照している Itenberg と Katzarkov と Mikhalkin との共著の論文は, [Ite+19] として現れた。

Matroid を polymatroid に一般化したものとしては, Crowley らの [Cro+] がある。

Ardila と Klivans [AK06] は, Bergman complex を細分すると, ある poset の order complex として表わせることを示した。 Phylogenetic tree との関係も発見している。

Ardila と Klivans の結果の精密化が, Feichtner と Sturmfels [FS05] により得られているが, Dlugosch [Dlu14] は, そのより短い証明を得ている。

References

[AK06]

Federico Ardila and Caroline J. Klivans. “The Bergman complex of a matroid and phylogenetic trees”. In: J. Combin. Theory Ser. B 96.1 (2006), pp. 38–49. arXiv: math/0311370. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jctb.2005.06.004.

[Ber71]

George M. Bergman. “The logarithmic limit-set of an algebraic variety”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 157 (1971), pp. 459–469. url: https://doi.org/10.2307/1995858.

[Cro+]

Colin Crowley, June Huh, Matt Larson, Connor Simpson, and Botong Wang. The Bergman fan of a polymatroid. arXiv: 2207.08764.

[Dlu14]

Martin Dlugosch. “New light on Bergman complexes by decomposing matroid types”. In: Order 31.1 (2014), pp. 101–114. arXiv: 1111.5496. url: https://doi.org/10.1007/s11083-013-9290-8.

[FS05]

Eva Maria Feichtner and Bernd Sturmfels. “Matroid polytopes, nested sets and Bergman fans”. In: Port. Math. (N.S.) 62.4 (2005), pp. 437–468. arXiv: math/0411260.

[Ite+19]

Ilia Itenberg, Ludmil Katzarkov, Grigory Mikhalkin, and Ilia Zharkov. “Tropical homology”. In: Math. Ann. 374.1-2 (2019), pp. 963–1006. arXiv: 1604.01838. url: https://doi.org/10.1007/s00208-018-1685-9.

[Zha13]

Ilia Zharkov. “The Orlik-Solomon algebra and the Bergman fan of a matroid”. In: J. Gökova Geom. Topol. GGT 7 (2013), pp. 25–31. arXiv: 1209.1651.