Quillen の plus construction

Quillen [Qui71] は, 環の 高次代数的\(K\)理論を定義するために, plus construction という 空間 (CW複体) に対する構成を用いた。 ホモロジーを変えずに, 基本群の perfect normal subgroup を消す操作である。

大抵の文献では (このページでも), Quillen の plus construction と呼ばれているので, Quillen が最初に考えたものだと思っていたのだが, Hausmann と Husemoller の [HH79] や Dranishinikov の [Dra] によると, 同じ構成は Quillen より前に Kervaire [Ker69] が独立して発見していたらしい。

文献としては, この Hausmann と Husemoller の論文の他に, Berrick の本 [Ber82b] を挙げるべきだろう。Weibel の本 [Wei13] の Chapter IV にも説明がある。

\(X^{+}\) を構成するためには, まず基本群 \(\pi _{1}(X)\) の perfect normal subgroup \(P\) を消すために \(P\) の元に対応する \(2\)-cell を \(X\) に貼り付ける。できた空間のホモロジーは, \(2\)次の部分だけが \(X\) のホモロジーと異なり, その\(2\)次の部分は, \(H_{2}(X)\) に \(P\) で生成された自由アーベル群を直和したものである。\(P\) に対応する元は Hurewicz image に入っているので, それらの元を消すように \(3\)-cell を貼り付けることにより基本群が \(\pi _{1}(X)/P\) でありホモロジーが \(H_{*}(X)\) と同型な空間 \(X^{+}\) ができる。

環 \(R\) の 代数的 \(K\) 理論を定義するときの空間 \(B\mathrm {GL}(R)^{+}\) では, perfect normal subgroup として maximal なものを取る。 また, この空間とホモトピー同値な空間には, cell を貼り付ける以外にいくつかの構成方法がある。 例えば Weibel の本 [Wei13] の Chapter IV §1 の Construction 1.9 には次の方法が挙げられている:

• \(\Z \) に関する Bousfield-Kan completion を使う。
• homotopy theoretic group completion による。
• simplicial ring としての resolution を使う。 (Swan の [Swa68])
• Volodin の構成。(Volodin の [Vol71] や Suslin と Wodzickiの [SW92])

Berrick [Ber82a] は, fibration が plus construction で保たれるための条件を考えるために, fiberwise plus construction を導入した。

• fiberwise plus construction

他にもいくつかの拡張, あるいは変種が得られている。Pirashvili の [Pir86], Levi の [Lev95], Livernet の [Liv99] などである。Ye の [Ye12; Ye13] は Bousfield localization も含むものになっている。

Levin [Lev] の Proposition 4.4 は, perfect でなくても, 基本群全体ならホモロジーを変えずに消すことができる, と言っている。 Dranishinikov の [Dra] はその紹介であるが, それを書いた理由は, 「多くの algebraic topologist が Levin の結果を信じないから」だという。 本当なのだろうか?

References

[Ber82a]

A. J. Berrick. “The plus-construction and fibrations”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 33.130 (1982), pp. 149–157. url: https://doi.org/10.1093/qmath/33.2.149.

[Ber82b]

A. Jon Berrick. An approach to algebraic \(K\)-theory. Vol. 56. Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982, pp. iii+108. isbn: 0-273-08529-8.

[Dra]

Alexander Dranishnikov. On Levin’s generalization of the plus construction. arXiv: 1401.2554.

[HH79]

Jean-Claude Hausmann and Dale Husemoller. “Acyclic maps”. In: Enseign. Math. (2) 25.1-2 (1979), pp. 53–75.

[Ker69]

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[Lev]

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[Lev95]

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[Liv99]

Muriel Livernet. “On a plus-construction for algebras over an operad”. In: \(K\)-Theory 18.4 (1999), pp. 317–337. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007857428747.

[Pir86]

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[Qui71]

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[SW92]

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[Swa68]

R. G. Swan. Algebraic \(K\)-theory. Lecture Notes in Mathematics, No. 76. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1968, pp. iv+262.

[Vol71]

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[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.

[Ye12]

Shengkui Ye. “A unified approach to the plus-construction, Bousfield localization, Moore spaces and zero-in-the-spectrum examples”. In: Israel J. Math. 192.2 (2012), pp. 699–717. arXiv: 1107.3392. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0051-y.

[Ye13]

Shengkui Ye. “Erratum to “A unified approach to the plus-construction, Bousfield localization, Moore spaces and zero-in-the-spectrum examples” [MR3009739]”. In: Israel J. Math. 196.1 (2013), pp. 507–508. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0170-5.