Bousfield Localization

Bousfield localization という操作がある。 その起源は, Bousfield と Kan による 局所化 (完備化) [BK72] であり, それは特異ホモロジー論に関する局所化と考えることができる。 より一般のホモロジー論に関する局所化への拡張は, Bousfield [Bou75; Bou79] により導入されたが, 私が学生だった頃は, Bousfield localization と言えば, このホモロジー論あるいは spectrum に関する局所化のことだった。

• Bousfield-Kan localization
• spectrum の安定ホモトピー圏での Bousfield localization

その後, triangulated category や model category などへ一般化されている。 また Dror Farjoun [Far96] により導入された cellularization を right Bousfield localization と呼び, Bousfield によるもの (の model category などへの一般化) を left Bousfield localization と呼ぶようになっている。

ただ, 単に Bousfield localization という呼び方も一般的であり, そのときは cellularization を colocalization と呼ぶこともある。

• left Bousfield localization
• right Bousfield localization あるいは colocalization あるは cellularization

(Left) Bousfield localization に関する概要を知るためには, まず Tyler Lawson の [Law22] を読むのが良いと思う。特に, §1.1 に Historical background が書かれているのが良い。

Model category では, Bousfield localization は weak equivalence を増やす操作である。例えば, 位相空間の Quillen model structure では, weak equivalence は弱ホモトピー同値であるが, それをある homology theory での同値に拡張したのが古典的な Bousfield localization である。

その構成方法として, Bousfield と Friedlander [BF78] の Appendix A に書かれているものがある。 ある条件をみたす endofunctor \(Q:\bm {M}\to \bm {M}\) が与えられたとき \(Q\) で写して weak equivalence になる morphism を weak equivalence とする model structure が得られることを示している。 Carmona [Car] は Bousfield-Friedlander theorem と呼んでいる。 Carmona は semimodel category への一般化を示している。

• Bousfield-Friedlander theorem

Triangulated category での Bousfield localization については, Neeman の本 [Nee01] に書いてある。 Krause の lecture note [Kra10] もある。

Monoidal model category での Bousfield localization については, David White の [Whi22] がある。White は [Whi] という User’s Guide を書いている。

Bousfield localization の強弱関係により, spectrum の間に同値関係を定義することができ, その同値類を Bousfield class というが, その定義は monoidal triangulated category でもそのまま使うことができる。

• Bousfield class

安定ホモトピー圏では, Bousfield class 達が集合を成すことを Ohkawa が [Ohk89] で示しているが, triangulated category への一般化は, Neemann [Nee92] や Iyengar と Krause [IK13], そして Casacuberta, Gutiérrez, Rosický の [CGR14] がある。

• Ohkawa’s theorem
• Bousfield lattice

Equivariant stable homotopy theory での Bousfield localization については, Balderrama の [Bal24] の Appendix にまとめられている。

References

[Bal24]

William Balderrama. “Total power operations in spectral sequences”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 377.7 (2024), pp. 4779–4823. arXiv: 2205.07409. url: https://doi.org/10.1090/tran/9073.

[BF78]

A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. v+348.

[Bou75]

A. K. Bousfield. “The localization of spaces with respect to homology”. In: Topology 14 (1975), pp. 133–150. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(75)90023-3.

[Bou79]

A. K. Bousfield. “The localization of spectra with respect to homology”. In: Topology 18.4 (1979), pp. 257–281. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(79)90018-1.

[Car]

Victor Carmona. When Bousfield localizations and homotopy idempotent functors meet again. arXiv: 2203.15849.

[CGR14]

Carles Casacuberta, Javier J. Gutiérrez, and Jiří Rosický. “A generalization of Ohkawa’s theorem”. In: Compos. Math. 150.5 (2014), pp. 893–902. arXiv: 1203.6395. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X13007616.

[Far96]

Emmanuel Dror Farjoun. Cellular spaces, null spaces and homotopy localization. Vol. 1622. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1996, pp. xiv+199. isbn: 3-540-60604-1.

[IK13]

Srikanth B. Iyengar and Henning Krause. “The Bousfield lattice of a triangulated category and stratification”. In: Math. Z. 273.3-4 (2013), pp. 1215–1241. arXiv: 1105.1799. url: https://doi.org/10.1007/s00209-012-1051-7.

[Kra10]

Henning Krause. “Localization theory for triangulated categories”. In: Triangulated categories. Vol. 375. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 161–235. arXiv: 0806.1324. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139107075.005.

[Law22]

Tyler Lawson. “An introduction to Bousfield localization”. In: Stable categories and structured ring spectra. Vol. 69. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2022, pp. 301–344. arXiv: 2002.03888.

[Nee01]

Amnon Neeman. Triangulated categories. Vol. 148. Annals of Mathematics Studies. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2001, pp. viii+449. isbn: 0-691-08685-0; 0-691-08686-9.

[Nee92]

Amnon Neeman. “The chromatic tower for \(D(R)\)”. In: Topology 31.3 (1992). With an appendix by Marcel Bökstedt, pp. 519–532. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90047-L.

[Ohk89]

Tetsusuke Ohkawa. “The injective hull of homotopy types with respect to generalized homology functors”. In: Hiroshima Math. J. 19.3 (1989), pp. 631–639. url: http://projecteuclid.org/euclid.hmj/1206129296.

[Whi]

David White. Monoidal Bousfield Localizations and Algebras over Operads: A User’s Guide. arXiv: 1801.03191.

[Whi22]

David White. “Monoidal Bousfield localizations and algebras over operads”. In: Equivariant topology and derived algebra. Vol. 474. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2022, pp. 180–240. arXiv: 1404.5197.