Bousfield Localization in the Stable Homotopy Category of Spectra

Bousfield-Kan の局所化 (完備化) は, 特異ホモロジー論に関する 局所化 (完備化) である。より 一般的なホモロジー論に対する局所化は, Bousfield [Bou75; Bou79] により導入された。 その後, triangulated category や model category などへ一般化されている。

• Bousfield localization

具体的な spectrum \(X\) と homology theory \(E_*(-)\) が与えられたとき, \(X\) の \(E\) に関する局所化 \(L_E(X)\) を求めるのは非常に難しい。 分っている例としては, 以下のものがある。

• 連結な spectrum の連結な spectrumに 関する局所化 [Bou79]
• sphere spectrum の \(K\)-theory に関する局所化 [Rav84]
• Eilenberg-Mac Lane spectrum の任意の homology theory に関する局所化 [Gut10; CG05]

\(3\)-local sphere spectrum の \(K(2)\)-localization に関連した spectrum として, Behrens が [Beh06] で導入した \(Q(2)\) がある。 Behrens は, より一般に \(Q(N)\) を定義し, \(p\) が \(p\)進整数環の可逆元の成す群の topological generator のときに \(L_{K(2)}(S_{(p)})\) が \(Q(N)\) とその dual に関する cofiber sequence に分解することを予想している。

一方, 任意の一般コホモロジー論に関する localization が存在するかどうかというのは, 長い間 open problem だったようである。Casacuberta と Scevenels と Smith の [CSS05] で, Vopenka’s principle という集合論的な仮定をすると, 証明できることが示されている。

Casacuberta と Gutierrez [CG05] は, Dror の写像に関する局所化を用いている。

Bousfield localization の強弱関係により, spectrum の間に“同値関係”を定義することができる。その“同値類”を Bousfield class という。Bousfield class 達が集合を成すことを Ohkawa が [Ohk89] で示している。そして lattice を成すので Bousfield lattice と呼ばれている。

• Bousfield class
• Ohkawa’s theorem
• Bousfield lattice

Ohkawa の定理については, Dwyer と Palmieri による別証 [DP01] がある。 まずは, Casacuberta の survey [Cas20] を読むと良いと思う。

Strickland [Str19] は, Bousfield class の集合は, ordered semiring の構造を持つことに着目している。

• Bousfield class の成す ordered semiring

References

[Beh06]

Mark Behrens. “A modular description of the \(K(2)\)-local sphere at the prime 3”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 343–402. arXiv: math / 0507184. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.08.005.

[Bou75]

A. K. Bousfield. “The localization of spaces with respect to homology”. In: Topology 14 (1975), pp. 133–150.

[Bou79]

A. K. Bousfield. “The localization of spectra with respect to homology”. In: Topology 18.4 (1979), pp. 257–281. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(79)90018-1.

[Cas20]

Carles Casacuberta. “Depth and simplicity of Ohkawa’s argument”. In: Bousfield classes and Ohkawa’s theorem. Vol. 309. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Singapore, [2020] ©2020, pp. 3–15. url: https://doi.org/10.1007/978-981-15-1588-0_2.

[CG05]

Carles Casacuberta and Javier J. Gutiérrez. “Homotopical localizations of module spectra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 357.7 (2005), 2753–2770 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03552-4.

[CSS05]

Carles Casacuberta, Dirk Scevenels, and Jeffrey H. Smith. “Implications of large-cardinal principles in homotopical localization”. In: Adv. Math. 197.1 (2005), pp. 120–139. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.10.001.

[DP01]

William G. Dwyer and John H. Palmieri. “Ohkawa’s theorem: there is a set of Bousfield classes”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 129.3 (2001), pp. 881–886. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05669-0.

[Gut10]

Javier J. Gutiérrez. “Homological localizations of Eilenberg-MacLane spectra”. In: Forum Math. 22.2 (2010), pp. 349–356. arXiv: math/ 0511412. url: https://doi.org/10.1515/FORUM.2010.019.

[Ohk89]

Tetsusuke Ohkawa. “The injective hull of homotopy types with respect to generalized homology functors”. In: Hiroshima Math. J. 19.3 (1989), pp. 631–639. url: http://projecteuclid.org/euclid.hmj/1206129296.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.

[Str19]

Neil Patrick Strickland. “A combinatorial model for the known Bousfield classes”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.6 (2019), pp. 2677–2713. arXiv: 1608.08533. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.2677.