写像に関する局所化とcellularization

Dror [Far96] と Bousfield [Bou94] により証明されたのが, 写像に関する局所化の存在である。これは, それまでの様々な局所化を統一するものである。

まずは, ある空間 \(A\) に関する cellularization がある。これは \(A\) を張り合わせて (homotopy colimit を取って) できる空間で近似する操作である。 White と Yau の [WY] の Introduction に書かれているように, right Bousfield localization とか colocalization などと呼ぶ人もいる。 Bousfield は, \(A\)-periodization とも呼んでいるが。

• cellularization or right Bousfield localization or colocalization

モデル圏での cellularization を考えているものとしては, Chorny の [Cho07] や Greenlees と Shipley の [GS] がある。文献としては, Hirschhorn の本 [Hir03] を挙げるべきだろうが。

そしてその双対の nullification がある。

• nullification
• 写像に関する局所化

Cellularization と nullification の間の関係については, Chacholski が [Cha96] で調べている。

Badioch と Dorabiala [BD10] は, 写像に関する局所化と mapping space functor の可換性について考えている。

Chacholski と Dwyer と Intermont は [CDI02] で \(A\)-cellular space に対し, \(A\)-complication という ordinal に値を持つ不変量を定義した。

ホモトピー論での応用としては, 例えば Flores らの [FS; Flo07; FF] などがある。\(B\Z /p\Z \) に関する cellularization で有限群の分類空間を調べている。Rodoriguez と Scherer [RS] は, \(2\)次元 Moore空間に関する cellularization を調べている。

Flores らの結果は, ホモトピー論というより, 群論への応用と言った方がよいかもしれない。実際, Dror ら [FGS07; Far+] は, 群の圏での cellular approximation を考えている。それにより群の cellular cover という概念を得ている。\(R\)-module の cellular cover [GRS12] もある。

Cellularization のアイデアは, derived category などを調べる際にも用いられるようになってきた。Dwyer と Greenlees と Iyenger の [DGI06] や Kiessling の [Kie] など。

Gutiérrez [Gut] は, より一般の triangulated category での cellularization functor について考えている。

実際, 代数の研究者の間では写像に関する局所化の類似は, 非可換環の Cohn localization として古くから考えられていたようである。

• Cohn localization

ホモトピー論での localization との関係は, Dwyer の [Dwy06] で解説されている。この Dwyer の論文が収められている本は, noncommutative localization に関する解説を集めたもので, 様々な分野で使われている noncommutative localization を概観するのに便利である。

References

[BD10]

Bernard Badzioch and Wojciech Dorabiała. “A note on localizations of mapping spaces”. In: Israel J. Math. 177 (2010), pp. 441–444. arXiv: 0808.0373. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-010-0054-5.

[Bou94]

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[CDI02]

W. Chachólski, W. G. Dwyer, and M. Intermont. “The \(A\)-complexity of a space”. In: J. London Math. Soc. (2) 65.1 (2002), pp. 204–222. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024610701002691.

[Cha96]

Wojciech Chachólski. “On the functors \(CW_A\) and \(P_A\)”. In: Duke Math. J. 84.3 (1996), pp. 599–631. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-96-08419-7.

[Cho07]

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[DGI06]

W. G. Dwyer, J. P. C. Greenlees, and S. Iyengar. “Duality in algebra and topology”. In: Adv. Math. 200.2 (2006), pp. 357–402. arXiv: math/0510247. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.11.004.

[Dwy06]

William G. Dwyer. “Noncommutative localization in homotopy theory”. In: Non-commutative localization in algebra and topology. Vol. 330. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006, pp. 24–39. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526381.009.

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[Far96]

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[FF]

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[FGS07]

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[FS]

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[GRS12]

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[GS]

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[Gut]

Javier J. Gutiérrez. Cellularization of structures in stable homotopy categories. arXiv: 1105.1997.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4.

[Kie]

Jonas Kiessling. Properties of cellular classes of chain complexes. arXiv: 0802.0108.

[RS]

José L. Rodrı́guez and Jerome Scherer. A connection between cellularization for groups and spaces via two-complexes. arXiv: math.AT/0702607.

[WY]

David White and Donald Yau. Right Bousfield Localization and Operadic Algebras. arXiv: 1512.07570.