位相空間の圏での limit や colimit は, ホモトピーと相性がよくない。 そこで考えられたのが, telescope や homotopy
pull-back や homotopy push-out, より一般に homotopy limit と homotopy colimit である。
Mapping cone (homotopy cofiber) や homotopy fiber もその一種である。 群の作用を考える時に
homotopy colimit (Borel construction) が有用であることを発見したのは, Borel [Bor53]
である。
通常の limit や colimit では都合が悪いことは, 適当な例を考えてみればわかる。 例えば, [DH01] の中の Dwyer の解説に,
pushout の例がある。
- 位相空間の2つ可換図式で, colimit はホモトピー同値ではないが, 2つの図式の間にホモトピー同値写像が存在するもの
- 位相空間の2つ可換図式で, limit はホモトピー同値ではないが, 2つの図式の間にホモトピー同値写像が存在するもの
一般の図式の homotopy limit や colimit を最初に定義したのは, Bousfield と Kan [BK72] であるが, 彼等は
simplicial set の図式に対して定義している。 古い本であるが, よく整理されていて簡潔にまとまっているので読み易い, と思う。
Simplicial set の圏では, Goerss と Jardine の本 [GJ09] もある。
位相空間と simplicial set の対応を知っていれば, それを位相空間の図式の場合に直すのは難しくないが, homotopy colimit
の場合なら, 前述の Dwyer と Henn の [DH01] の中の Dwyer の解説や Dugger の解説 [Dug08] がある。
位相空間の圏での homotopy colimit については, Madsen と Weiss の Mumford予想の論文 [MW07] の
appendix も, 良い解説である。また [DH01] の Dwyer の説明も分りやすい。 最初に位相空間の圏における homotopy
(co)limit についてまとめたのは, Vogt [Vog73] だと思うが。
- simplicial space の幾何学的実現による \(\hocolim \) の構成
- comma category の分類空間 \(B(x\downarrow \bm {C})\) と coequalizer を用いた \(\hocolim \) の構成
- \(\hocolim \) の simplicial space による構成と \(B(x\downarrow \bm {C})\) による構成が一致すること
また, 位相空間の圏での homotopy (co)limit は, 特有の性質を持つことを知っておくのも重要である。
Dugger と Isaksen [DI; DI04] は, 位相空間の圏での homotopy colimit は, cofibrant の
条件なしに弱ホモトピー同値不変性を持つことを示している。Strøm によるモデル構造 [Str72] との比較が重要な鍵となっている。
- 位相空間の圏での homotopy colimit は弱ホモトピー同値不変性を持つ。
一方で, 位相空間の圏での homotopy limit については, Goodwillie の論文 [Goo92] と Weiss の
orthogonal calculus [Wei95] を読むと具体的なイメージがつかめるかもしれない。
- cosimplicial space の totalization による \(\holim \) の構成
- \(B(\bm {C}\downarrow x)\) と equalizer を用いた\(\holim \) の構成
- \(\holim \) の cosimplicial space による構成と \(B(x\downarrow \bm {C})\) による構成が一致すること
2つの図式の間のホモトピー同値写像という概念を, 正確に述べるためには, モデル圏の言葉を用いるのがよい。 現在のホモトピー論では,
モデル圏や その条件を更に弱めた圏で, 考えることができるようになっている。例えば Hirschhorn の本 [Hir03] を見るとよい。
もちろん, 実際に使うためには, そのような抽象的な理論だけでなく, 位相空間や simplicial set の圏での具体的な homotopy
(co)limit の構成を知っておくべきだろう。 上記のように, 小圏の分類空間を用いた (co)equalizer による構成と (co)simplicial
space を用いたものの2種類の構成が基本的である。
小圏の分類空間との関係では, Thomason の定理 [Tho79] がある。 小圏の図式の Grothendieck
construction を取ってできる 小圏の分類空間と, それぞれの小圏の分類空間を取ってできる位相空間の図式の homotopy colimit
との関係である。
連結性との関連については, Dotto が [Dot] で調べている。
ホモトピー極限の応用としては, Notbohm の [Not] にあるように, 調べたい空間を分解するためのテクニックとしての用途がある。
Introduction にいくつかの Example がある。 このことを目標にした解説としては, これまでにも何度か挙げた Dwyer の
[DH01] がある。
他分野への応用としては, 例えば 組み合せ論がある。 様々な組み合せ論的問題で, poset の図式に対する homotopy colimit
が有効である。 Salvetti complex やその被覆空間のモデルを作る際に, Delucchi の [Del] で用いられている。
Engström [Eng] は, matroid の topological representation の構成に用いている。Engström
が書いているように, このような topological combinatorics へ応用する際には, Welker と Ziegler と Živaljević
の論文 [WZŽ99] や Ziegler と Živaljević の [ZŽ93] を見るように書いてある。
Weiss [Wei95] は, orthogonal calculus のために, 位相圏を定義域とする functor の homotopy
(co)limit を用いている。そのような homotopy (co)limit について触れているものとしては, やはり, orthogonal
calculus を用いている Arone の [Aro09] ぐらいだろうか。
- 位相圏を定義域とする homotopy (co)limit
Bergner は, [Ber12; Ber14] で model category の図式の homotopy limit や homotopy
colimit を考えている。 群の triangulated category への作用などへの応用を考えているようである。
- homotopy (co)limit of model categories
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