モデル圏的ホモトピー (余) 極限

小圏 \(I\) から位相空間の圏への関手の成す圏を \(\category {Top}^{I}\) と表すと, 位相空間の圏での 圏論的な limit と colimit は, 関手

を定める。 Bousfield と Kan による 一般的な homotopy limit と colimit の理論[BK72] は, これらの関手がホモトピー不変性を持たないことが動機だった。

定義域の圏には, 以下の モデル構造を入れるのが普通である。

• 小圏 \(C\) から位相空間の圏への関手の成す圏 \(\category {Top}^{I}\) において, 弱同値と cofibration を object ごとの弱同値と cofibration として定義したモデル構造
• 小圏 \(C\) から位相空間の圏への関手の成す圏 \(\category {Top}^{I}\) において, 弱同値と fibration を object ごとの弱同値と fibration として定義したモデル構造

モデル圏の言葉でいえば, homotopy (co)limit とは, \(\lim \) と \(\colim \) から関手

でホモトピー圏の間の関手

を誘導するものを作ろうという試みである。

このようなときに思い出すべきなのは, Quillen がモデル圏の理論を ホモロジー代数の一般化として導入したことである。古典的なホモロジー代数では, half exact functor に対し derived functor が定義されるが, \(\colim \) や \(\lim \) のようにモデル構造を半分だけ保つ関手に対して, その total derived functor が定義される。

• 位相空間の圏での \(\colim \) が left Quillen functor であること
• \(\colim \) の total left derived functor としての homotopy colimit の定義
• 位相空間の圏での \(\lim \) が right Quillen functor であること
• \(\lim \)の total right derived functor としての homotopy limit の定義

Bousfield-Kan の homotopy (co)limit と derived functor としての homotopy (co)limit の関係について書いたものとしては, Shulman の [Shu] がある。 そこでは, Dwyer と Hirschorn と Kan と Smith の本 [Dwy+04] が参照されている。

Dwyer らこの本で考えたのは, モデル圏やそれに類する構造を持つ圏で, “homotopically correct” な homotopy limit や colimit が何か, という問題である。

Bousfield-Kan 流の equalizer や coequalizer を用いた構成ができるための条件は, Hirschhorn の本 [Hir03] で詳しく考えられている。 具体的な条件としては, simplicial model category という条件が重要である。その条件を弱めようという試みを Chachólski と Scherer が [CS08] で行なっている。彼等は, その前に [CS02] という試みも行なっている。 そこでの重要な概念は, model approximation である。彼等は model approximation を持つ圏では, モデル圏とかなり近いことができることを確かめている。他の扱いとしては, Thomason による homotopy end を用いたものもある。Weibel による Thomason のノートに基づいた解説が [Wei01] にある。

Radulescu-Basu の [Rad] は, cofibration と weak equivalence のみ持つ, 所謂 cofibration category での homotopy colimit を考えたものである。

他には, Rodriguez-Gonzalez の [Rod14] で relative category を用いて定義されている realizable homotopy colimit などもある。

• realizable homotopy colimit

Rodriguez-Gonzalez は, 他の homotopy colimit の構成 (定義) として derivator の context で定義されるものや, Voevodsky の [Voe10] で定義されるものを挙げている。

References

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Vol. 304. Lecture Notes in Mathematics. 2nd corrected printing 1987. Berlin: Springer-Verlag, 1972, p. v 348.

[CS02]

Wojciech Chachólski and Jérôme Scherer. “Homotopy theory of diagrams”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 155.736 (2002), pp. x+90. arXiv: math/0110316. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0736.

[CS08]

Wojciech Chachólski and Jerome Scherer. “Representations of spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 245–278. arXiv: math/0511577. url: https://doi.org/10.2140/agt.2008.8.245.

[Dwy+04]

William G. Dwyer, Philip S. Hirschhorn, Daniel M. Kan, and Jeffrey H. Smith. Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories. Vol. 113. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, pp. viii+181. isbn: 0-8218-3703-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/113.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4. url: https://doi.org/10.1090/surv/099.

[Rad]

Andrei Radulescu-Banu. Cofibrations in Homotopy Theory. arXiv: math/0610009.

[Rod14]

Beatriz Rodríguez González. “Realizable homotopy colimits”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 22, 609–634. arXiv: 1104.0646.

[Shu]

Michael Shulman. Homotopy limits and colimits and enriched homotopy theory. arXiv: math/0610194.

[Voe10]

Vladimir Voevodsky. “Simplicial radditive functors”. In: J. K-Theory 5.2 (2010), pp. 201–244. arXiv: 0805.4434. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010003026jkt097.

[Wei01]

Charles Weibel. “Homotopy ends and Thomason model categories”. In: Selecta Math. (N.S.) 7.4 (2001), pp. 533–564. arXiv: math/0106052. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-001-8098-3.