Relative Category

Barwick と Kan は, [BK12b] で weak equivalence の subcategory が指定されている category を relative category と呼び, その圏を homotopy theory of homotopy theories として提案している。

• homotopy theory of homotopy theories

似たようなものとして, Dwyer, Hirschhorn, Kan, Smith [Dwy+04] の homotopical category があるが, relative category での weak equivalence の成す subcategory に関する条件は, homotopical category での weak equivalence よりずっと弱く, identity morphism を全て含むだけである。

Homotopy theory of homotopy theories の model として意味を持つためには, 他の model との比較が必要であるが, simplicial model category を relative category とみなしたものについては, Rezk の [Rez01] がある。彼は, classification diagram という simplicial space (bisimplicial set) を構成し, その Reedy-fibrant replacement が complete Segal space になることを示している。

• Rezk classification diagram

Barwick と Kan は [BK12b] で Rezk の構成が model category の Quillen equivalence になるような relative category の category 上の model structure を導入している。

Rezk の結果は, Bergner [Ber09], Barwick と Kan [BKc], Low と Mazel-Gee [LM15] などにより一般化されている。 この Barwick と Kan の論文では, そのための model category の一般化として, partial model category が導入されている。

• partial model category

Simplicial category との比較のためには, 当然 Dwyer-Kan の hammock localization を用いる。 Barwick と Kan は, [BK12a] でその homotopy inverse となる relativization functor を定義している。 更に, [BKb] では, quasicategory との比較を行なっている。

Barwick と Kan [BKa] は homotopy theory of \(n\)-fold homotopy theories のモデルとして \(n\)-relative category という概念を導入している。

• \(n\)-relative category

References

[Ber09]

Julia E. Bergner. “Complete Segal spaces arising from simplicial categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 361.1 (2009), pp. 525–546. arXiv: 0704.1624. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04616-3.

[BKa]

C. Barwick and D. M. Kan. \(n\)-Relative Categories. arXiv: 1102.0186.

[BKb]

C. Barwick and D. M. Kan. A Thomason-like Quillen equivalence between quasi-categories and relative categories. arXiv: 1101.0772.

[BKc]

C. Barwick and D. M. Kan. Partial model categories and their simplicial nerves. arXiv: 1102.2512.

[BK12a]

C. Barwick and D. M. Kan. “A characterization of simplicial localization functors and a discussion of DK equivalences”. In: Indag. Math. (N.S.) 23.1-2 (2012), pp. 69–79. arXiv: 1012.1540. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.indag.2011.10.001.

[BK12b]

C. Barwick and D. M. Kan. “Relative categories: another model for the homotopy theory of homotopy theories”. In: Indag. Math. (N.S.) 23.1-2 (2012), pp. 42–68. arXiv: 1011.1691. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.indag.2011.10.002.

[Dwy+04]

William G. Dwyer, Philip S. Hirschhorn, Daniel M. Kan, and Jeffrey H. Smith. Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories. Vol. 113. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, pp. viii+181. isbn: 0-8218-3703-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/113.

[LM15]

Zhen Lin Low and Aaron Mazel-Gee. “From fractions to complete Segal spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 17.1 (2015), pp. 321–338. arXiv: 1409.8192. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n1.a16.

[Rez01]

Charles Rezk. “A model for the homotopy theory of homotopy theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.3 (2001), 973–1007 (electronic). arXiv: math/9811037. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02653-2.