モデル圏の一般化

モデル圏の一般化としては, まずモデル圏の構造の一部しか持たないようなものがある。 ホモトピー圏を定義しなければならないので, weak equivalence は必要であるが, 例えば, cofibration か fibration のどちらか一つしか持たないようなものは, 色んな人が考えている。

• cofibration か fibration のいづれかしか持たない category

Monoidal model category での monoid object 上の module や operad 上の algebra の category を考えるときには, model structure を少し弱めたものが必要になる。 Spitzweck [Spi] は, そのために semi-model category という構造を導入している。

• semi-model category

Henry は [Hen20] で fibration と cofibration だけから定義される weak model category という構造を定義している。 semi-model category は weak model category になるらしい。

• weak model category

ホモトピー colimit を考えるという目的で, Anderson-Brown-Cisinski cofibration category という概念を考えているのは, Radulescu-Banu の [Rad] である。同様の目的で考えられているものとして, Dwyer, Hirschhorn, Kan, Smith [Dwy+04] の homotopical category がある。

• Anderson-Brown-Cisinski cofibration category
• homotopical category

Farjoun と Hess [FH12] は, twisted tensor product のような構成を持つ homotopical category を twisted homotopical category と呼んで調べている。 Rovelli [Rov17] によると, 位相空間の圏に適用するためには, 少し条件を弱めないといけないようである。

Barwick と Kan は [BK12] で, weak equivalence の subcategory を持つ category を relative category として考えている。ここでの weak equivalence の成す subcategory に関する条件は homotopical category での weak equivalence よりずっと弱く, identity morphism を全て含むだけである。その後, relative category に weak equivalence のみたすべき条件を加えた partial model category という概念を [BK] で定義している。

• relative category
• partial model category

Weak equivalence を持つ category を model category で近似しようというのが, Chacholski と Schrerer が [CS02] で導入した model approximation である。

• model approximation

逆に, ある retract で閉じた subcategory を指定したときに, それを weak equivalence に持つような model structure が存在するか, という問題も考えられる。Zakharevich と Droz [DZ15] により考えられている。

ある model category に埋め込める “weak equivalence” が指定されて pull-back で閉じている圏を pseudo-model category として Toën と Vezzosi が [TV05] で導入している。

• pseudo-model category

Shulman [Shu11] は, (Quillenの意味の) derived functor を考えるために, derivable category という概念を導入している。

• derivable category

他には, Guillén と Navarro と Pascual と Roig のアプローチ [Gui+10] もある。

• Cartan-Eilenberg category

これは, weak equivalence と strong equivalence の2種類の morphism が指定された構造である。Cirici とGuillén [CG16] は, mixed Hodge complex の homotopical algebra (homological algebra) を行なうためには, Cartan-Eilenberg category が正しい枠組みだと主張している。

モデル圏の一般化ではないが, モデル圏の定義に現れる lifting property を有限群の圏で考えている人がいる。 [Gav] では, Feit-Thompson の定理を lifting property の繰り返しに関する statement として言い換えている。

高次の圏の場合は, どのような概念が適当なの だろうか? 例えば orbifold や stack などは bicategory を成していると考えるべきであるが, その homotopy (bi)category はどのように構成すればよいだろう? 一つの答えとして, Pronk と Warren の [PW14] がある。 そこでは, bicategory で “system fibrant objects” と “fibration system” という概念が定義され, それにより “homotopy bicategory” が構成されている。 その後, model bicategory の定義が, Descotte, Dubuc, Szyld の [DDS22] で提案されている。

• model bicategory

もちろん, Joyal や Lurie らが主張するように, homotopy category を取るためには, \((\infty ,1)\)-category を用いるという方法もある。つまり, \((\infty ,1)\)-category は model category と同じ用途で用いることができるということである。

一方で, Mazel-Gee [Maz] は \((\infty ,1)\)-category 上の model structure を考えることを提案している。

• model \(\infty \)-category

References

[BK]

C. Barwick and D. M. Kan. Partial model categories and their simplicial nerves. arXiv: 1102.2512.

[BK12]

C. Barwick and D. M. Kan. “Relative categories: another model for the homotopy theory of homotopy theories”. In: Indag. Math. (N.S.) 23.1-2 (2012), pp. 42–68. arXiv: 1011.1691. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.indag.2011.10.002.

[CG16]

Joana Cirici and Francisco Guillén. “Homotopy theory of mixed Hodge complexes”. In: Tohoku Math. J. (2) 68.3 (2016), pp. 349–375. arXiv: 1304.6236. url: https://doi.org/10.2748/tmj/1474652264.

[CS02]

Wojciech Chachólski and Jérôme Scherer. “Homotopy theory of diagrams”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 155.736 (2002), pp. x+90. arXiv: math/0110316. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0736.

[DDS22]

M. E. Descotte, E. J. Dubuc, and M. Szyld. “Model bicategories and their homotopy bicategories”. In: Adv. Math. 404 (2022), Paper No. 108455, 56. arXiv: 1805.07749. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108455.

[Dwy+04]

William G. Dwyer, Philip S. Hirschhorn, Daniel M. Kan, and Jeffrey H. Smith. Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories. Vol. 113. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, pp. viii+181. isbn: 0-8218-3703-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/113.

[DZ15]

Jean-Marie Droz and Inna Zakharevich. “Model categories with simple homotopy categories”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 2, 15–39. arXiv: 1312.4245.

[FH12]

Emmanuel D. Farjoun and Kathryn Hess. “Normal and conormal maps in homotopy theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 79–112. arXiv: 1011 . 5597. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a5.

[Gav]

Misha Gavrilovich. Expressing the statement of the Feit-Thompson theorem with diagrams in the category of finite groups. arXiv: 1608. 05927.

[Gui+10]

F. Guillén, V. Navarro, P. Pascual, and Agustí Roig. “A Cartan-Eilenberg approach to homotopical algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.2 (2010), pp. 140–164. arXiv: 0707.3704. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.04.009.

[Hen20]

Simon Henry. “Weak model categories in classical and constructive mathematics”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 24, 875–958. arXiv: 1807.02650.

[Maz]

Aaron Mazel-Gee. Model \(\infty \)-categories I: some pleasant properties of the \(\infty \)-category of simplicial spaces. arXiv: 1412.8411.

[PW14]

Dorette A. Pronk and Michael A. Warren. “Bicategorical fibration structures and stacks”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), pp. 836–873. arXiv: 1303.0340.

[Rad]

Andrei Radulescu-Banu. Cofibrations in Homotopy Theory. arXiv: math/0610009.

[Rov17]

Martina Rovelli. “A looping-delooping adjunction for topological spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 19.1 (2017), pp. 37–57. arXiv: 1503.04840. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2017.v19.n1.a3.

[Shu11]

Michael Shulman. “Comparing composites of left and right derived functors”. In: New York J. Math. 17 (2011), pp. 75–125. arXiv: 0706.2868. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2011/17_75.html.

[Spi]

Markus Spitzweck. Operads, Algebras and Modules in General Model Categories. arXiv: math/0101102.

[TV05]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. I. Topos theory”. In: Adv. Math. 193.2 (2005), pp. 257–372. arXiv: math/0207028. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.05.004.