モデル圏の2/3の構造しか持たない圏

モデル圏は, weak equivalence, fibration, cofibration の3種類の morphism (と2種類の factorization) が指定されたものであるが, この中で weak equivalence が本質的である。 Fibration や cofibration が, weak equivalence を調べるために重要な役割を果すことは, Quillen 以前にも多くの人が気付いていたが, その本質的な性質を公理化した Quillen の洞察力はすばらしい。

しかしながら, 実際には, weak equivalence を調べるときに fibration か cofibration の一方だけでよい場合がある。たとえば, stable homotopy cateogry のような triangulated category では, cofibration (cofiber sequence あるいは triangle) だけでよい。実際には, cofibration \(=\) fibration と考えているのであるが。

そこで, weak equivalence と fibration あるいは weak equivalence と cofibration という2種類の morphism の組に model category のような条件を要求したものが色々考えられている。 Radulescu-Banu の [Rad] の Chapter 2で, 様々なものが比較されているので, まずはそれを見るとよいと思う。

例えば, Waldhausen の algebraic \(K\)-theory of spaces [Wal85] では “category with cofibrations” や “category with weak equivalences”, そして “category with cofibrations and weak equivalences” といった概念が用いられている。 最後のものは, ちょっと名前が長すぎるので, 最近では Waldhausen category と呼ばれるのが普通である。

• Waldhausen category

一方, K.S. Brown は, [Bro73] で “category of fibrant objects” という weak equivalence と fibration しか持たない構造を考えている。

• K.S. Brown の category of (co)fibrant objects

更に, Baues は, [Bau89] で cofibration category というものを定義しているが, そこでは D.W. Anderson [And78] の left homotopy structure や Heller [Hel68] の h-c-category なども挙げられて, 比較されている。

• Baues の (co)fibration category
• D.W. Anderson の left homotopy structure
• Heller の h-c-category

Baues の fibration category の例としては, Kahl [Kah06] による relative pospaceの圏などがある。

K.S. Brown のものは, その名前の通りすべての object が fibrant なものであるが, fibrant でない object も許した一般化は ABC fibration category と呼ばれているようである。ABC とは Anderson-Brown-Cisinski の略である。これについては, Radulescu-Banu の [Rad] を見るとよい。

• ABC (co)fibration category

ABC cofibration category の enriched version が, Vokřínek [Vok] により考えられている。

Szumło [Szu16] は, Brown の category of fibrant objects の定義を少し修正したものの dual を “cofibration category” と呼んでいるが, これは ABC cofibration category で全ての object が cofibrant なものである。単に “(co)fibration category” と呼ぶと, Baues のものや ABC (co)fibration category と区別がつかず, まぎらわしい。ここでは Szumilo (co)fibration category と呼ぶことにしよう。

彼は, その Szumilo cofibration category の category が Szumilo fibration category を成すことを示すことにより, Szumilo cofibration category の homotopy theory を展開している。また [Szu17] では, それが cocomplete quasicategory の homotopy theory と同値であることを示している。

より最近導入されたものとしては, Barnea と Schlank の weak fibration category [BS16] がある。その dual である weak cofibration category は [BS] で調べられている。

• weak (co)fibration category

Makkai と Rosický [MR14] は, 更に弱く, 全ての isomorphism を含み, pushout と transfinite composition で閉じている morphism の class が指定された圏を cellular category と呼んで調べている。

• cellular category

Weak factorization system を持つ圏が典型的な例であり, よって model category も cellular category になる。

Ken Brown の category of fibrant objects の一般化としては, van den Berg と Moerdijk [BM18] が導入した category with path objects というものもある。

• category with path objects

References

[And78]

D. W. Anderson. “Fibrations and geometric realizations”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 84.5 (1978), pp. 765–788. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14512-1.

[Bau89]

Hans Joachim Baues. Algebraic homotopy. Vol. 15. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1989, pp. xx+466. isbn: 0-521-33376-8. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511662522.

[BM18]

Benno van den Berg and Ieke Moerdijk. “Exact completion of path categories and algebraic set theory. Part I: Exact completion of path categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.10 (2018), pp. 3137–3181. arXiv: 1603 . 02456. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.11.017.

[Bro73]

Kenneth S. Brown. “Abstract homotopy theory and generalized sheaf cohomology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 186 (1973), pp. 419–458. url: https://doi.org/10.2307/1996573.

[BS]

Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. From weak cofibration categories to model categories. arXiv: 1610.08068.

[BS16]

Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. “A projective model structure on pro-simplicial sheaves, and the relative étale homotopy type”. In: Adv. Math. 291 (2016), pp. 784–858. arXiv: 1109.5477. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.014.

[Hel68]

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[Kah06]

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[MR14]

M. Makkai and J. Rosický. “Cellular categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 218.9 (2014), pp. 1652–1664. arXiv: 1304 . 7572. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.01.005.

[Rad]

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[Szu16]

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[Szu17]

Karol Szumiło. “Homotopy theory of cocomplete quasicategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.2 (2017), pp. 765–791. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2017.17.765.

[Vok]

Lukáš Vokřínek. Enriched cofibration categories. arXiv: 1501.06807.

[Wal85]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.