Pospace と Local Pospace

Pospace とは partially ordered space あるいは preordered space の略である。 並列処理の理論のモデルとして, Fajstrup と Goubault と Raussen [FRG06] により導入された。 出版年は2006年となっているが, その内容は1998年ごろにはできていたようである。 Krishnan の [Kri] では, [Gie+03] が挙げられている。

定義は単純で, 位相空間 \(X\) の上に partial order あるいは preorder \(\le \) が定まっているもの, である。\(X\) の位相と \(\le \) の関係は何も要求しない。 Fajstrup らは \(\set {(x,y)\in X^{2}}{x\le y}\) が closed という条件を付けているが, 何も条件を付けない方がいいと思う。

位相空間上に partial order を定義したものは, Živaljević の [Živ98] でも topological poset という名前で定義され, 組み合せ論の視点から調べられている。 Živaljević も, \(\set {(x,y)\in X^{2}}{x\le y}\) が closed という条件を付けている。

• topological poset

Fajstrup らは, partially ordered space の意味で pospace を使っているが, Woolf [Woo09] のように, preordered space の意味で使う人もいるので, 注意が必要である。 Parially ordered set は poset というのが普通なので, partially ordered space を pospace と呼ぶべきだろう。 Yokura の [Yok20] では preordered set は proset と呼ばれているので, ここではそれに習って preordered space を prospace と呼ぶことにする。ただ, そうすると空間の圏の pro-object と間違えそうであるが。

導入以来, pospace の圏については, ホモトピー論の視点から色々調べられている。 例えば, Kahl の [Kah06] では, “relative pospace” の圏が fibration category かつ cofibration category であり, また pospace の圏が model category になることが示されている。

Bubenik と Worytkiewicz [BW06] によると, pospace は loop のある concurrent な program の実行をモデルできないらしい。その欠点を克服したのが, local pospace らしい。

• local pospace
• local prospace

しかしながら, local pospace の圏は colimit で閉じていないので, そのままでは model category にならない。そこで, Bubenik と Worytkiewicz は local pospace の圏を包含する圏で model category の構造を持つものを構成している。

その構成は, local pospace の圏に Grothendieck topology を入れ, その上の simplicial presheaf の圏として得られている。[Wor10] では, local pospace の圏は, その site よりも単純な site 上の sheaf の成す topos に full subcategory として埋め込めることが示されている。

もっと古典的なトポロジーに近い話題としては, 基本群の類似である fundamental category の定義がある。 Goubault と Raussen [GR02] により与えられた。ただし, 名前の通り, 群ではなく small category であるが。 これは Woolf が [Woo09] で stratified space に対して考えているものと似ている。 また, directed space に対しては, Grandis [Gra03] により fundamental category が定義されていてる。

• fundamental category

もちろん local prospace を考えてもよい。実際, Lee と Yetter [LY22] は, local prospace の fundamental category を用いて, defect 付き3次元多様体の不変量を構成することを考えている。

被覆空間の類似を考えることもできる。 [GHK09] など。

Local prospace と似た stream という概念を Krishnan [Kri09] で導入している。

• stream

Das と Howe [DH] は, fiberwise あるいは parametrized 版 を考えている。また, 彼等は scheme 版も考えている。

位相空間と locale の対応を prospace に拡張するために ordered locale という概念を導入している人 [HS; Sch] もいる。

• ordered locale

References

[BW06]

Peter Bubenik and Krzysztof Worytkiewicz. “A model category for local po-spaces”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 263–292. arXiv: math/0506352.

[DH]

Ronno Das and Sean Howe. Cohomological and motivic inclusion-exclusion. arXiv: 2204.04165.

[FRG06]

Lisbeth Fajstrup, Martin Raußen, and Eric Goubault. “Algebraic topology and concurrency”. In: Theoret. Comput. Sci. 357.1-3 (2006), pp. 241–278. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2006.03.022.

[GHK09]

Eric Goubault, Emmanuel Haucourt, and Sanjeevi Krishnan. “Covering space theory for directed topology”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), No. 9, 252–268. arXiv: 0812.1157.

[Gie+03]

G. Gierz et al. Continuous lattices and domains. Vol. 93. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, pp. xxxvi+591. isbn: 0-521-80338-1. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511542725.

[GR02]

Éric Goubault and Martin Raussen. “Dihomotopy as a tool in state space analysis”. In: LATIN 2002: Theoretical informatics (Cancun). Vol. 2286. Lecture Notes in Comput. Sci. Berlin: Springer, 2002, pp. 16–37. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45995-2_8.

[Gra03]

Marco Grandis. “Directed homotopy theory. I”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 44.4 (2003), pp. 281–316.

[HS]

Chris Heunen and Nesta van der Schaaf. Ordered Locales. arXiv: 2303.03813.

[Kah06]

Thomas Kahl. “Relative directed homotopy theory of partially ordered spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 79–100. arXiv: math/0605541.

[Kri]

Sanjeevi Krishnan. Criteria for homotopic maps to be so along monotone homotopies. arXiv: 0709.3715.

[Kri09]

Sanjeevi Krishnan. “A convenient category of locally preordered spaces”. In: Appl. Categ. Structures 17.5 (2009), pp. 445–466. arXiv: 0709.3646. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9140-9.

[LY22]

I. J. Lee and D. N. Yetter. “Stratified spaces, directed algebraic topology, and state-sum TQFTs”. In: J. Knot Theory Ramifications 31.4 (2022), Paper No. 2250021, 27. arXiv: 1807.07910. url: https://doi.org/10.1142/S0218216522500213.

[Sch]

Nesta van der Schaaf. Towards Point-Free Spacetimes. arXiv: 2406.15406.

[Woo09]

Jon Woolf. “The fundamental category of a stratified space”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 359–387. arXiv: 0811.2580.

[Wor10]

Krzysztof Worytkiewicz. “Sheaves of ordered spaces and interval theories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010), pp. 37–61. arXiv: 0808.1820.

[Yok20]

Shoji Yokura. “Decomposition spaces and poset-stratified spaces”. In: Tbilisi Math. J. 13.2 (2020), pp. 101–127. arXiv: 1912.00339. url: https://doi.org/10.32513/tbilisi/1593223222.

[Živ98]

Rade T. Živaljević. “Combinatorics of topological posets: homotopy complementation formulas”. In: Adv. in Appl. Math. 21.4 (1998), pp. 547–574. arXiv: math/9801147. url: http://dx.doi.org/10.1006/aama.1998.0604.