Fundamental Category

基点を持たない位相空間に対しては, 基本群ではなく, fundamental groupoid を考える方が自然であるが, その空間の中で動ける方向が限定されている場合は, 来た道を戻れる保証が無いため, groupoid ではなく, small category として定義する必要がある。

そのような場面として, directed algebraic topology や stratified space の研究がある。

Directed algebraic topology では, Grandis [Gra03] により, directed space に対し fundamental category が定義されている。 Directed algebraic topology では, homotopy も方向を指定したものを考える場合があり, Grandis のものは, そのような homotopy を用いた fundamental category である。一方, 通常の homotopy を用いたものとして, Fajstrup らの [Faj+04] で調べられているものがある。 Grandis は [Gra24] で彼の d-space の拡張として controlled space の概念を導入したが, その fundamental category は [Gra] で定義されている。

• directed space の fundamental category

他の directed algebraic topology の model, 例えば, local pospace からは directed space が構成できるので, それらに対しても fundamental category が定義できる。 例えば, Lee と Yetter の [LY22] や Goubault と Raussen の [GR02] で使われている。

この Lee と Yetter の論文は, stratified space から directed space を作り, その fundamental category を調べることを提案しているが, stratified space に対しては, 他にも fundamental category の構成は提案されている。 例えば, Woolf の [Woo09] など。 最近は, stratified space に対しては, small category ではなく, \((\infty ,1)\)-category として定義することも提案されている。そのようなものを exit-path category という。正確には, category ではないが。

• stratified space の exit-path category

References

[Faj+04]

L. Fajstrup, M. Raussen, E. Goubault, and E. Haucourt. “Components of the fundamental category”. In: vol. 12. 1. Homotopy theory. 2004, pp. 81–108. url: https://doi.org/10.1023/B:APCS.0000013812.75342.de.

[GR02]

Éric Goubault and Martin Raussen. “Dihomotopy as a tool in state space analysis”. In: LATIN 2002: Theoretical informatics (Cancun). Vol. 2286. Lecture Notes in Comput. Sci. Berlin: Springer, 2002, pp. 16–37. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45995-2_8.

[Gra]

Marco Grandis. The topology of critical processes, II (The fundamental category). arXiv: 2401.16290.

[Gra03]

Marco Grandis. “Directed homotopy theory. I”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 44.4 (2003), pp. 281–316.

[Gra24]

Marco Grandis. “The topology of critical processes, I (processes and models)”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 65.1 (2024), pp. 3–34. arXiv: 2309.01991.

[LY22]

I. J. Lee and D. N. Yetter. “Stratified spaces, directed algebraic topology, and state-sum TQFTs”. In: J. Knot Theory Ramifications 31.4 (2022), Paper No. 2250021, 27. arXiv: 1807 . 07910. url: https://doi.org/10.1142/S0218216522500213.

[Woo09]

Jon Woolf. “The fundamental category of a stratified space”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 359–387. arXiv: 0811.2580.