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並列処理の理論のモデルとして, ホモトピー論的な概念が有効であることが発見されて以降, 様々なモデルが考えられてきた。
通常のホモトピーとの最大の違いは, 逆に戻れないことである。同様の問題は, stratified space でのホモトピーを扱うときにも起こる。例えば,
Woolf の [Woo09] など。
そのようなホモトピーを directed homotopy と言ったりする。Bubenik [Bub09] は, そのようなモデルを研究する分野を
directed algebraic topology と呼んでいる。Grandis による本 [Gra09] も出た。
Concurrency の topological model には様々なものがある。例えば, 以下のようなもの。
これらについては, Gaucher が一連の論文 [Gau; Gau07; Gau06a; Gau06b; Gau08a]
の中で詳しく調べている。
Bubenik の [Bub] によると, これらのモデルは皆「大きすぎる」ことが問題のようである。そこで, ホモトピー論で行なっているように,
“weakly equivalent” なものを同一視したいところなのだが, どれとどれを同一視するかというのは, 「まわりの状況 (context)」
を見ないと決めることはできないのである。そこで Bubenik は context という概念を導入し, context に従って2つの object
を同一視するかどうかを決めることを提案している。
HDA に使われる degeneracy を持たない cubical set (\(\Box \)-set あるいは precubical set) については, Kahl
[Kah12] が, その directed homotopy type を変えないように小さくすることを考えている。Precubical
set の covering について考えているのは, Goubault と Haucourt と Krishnan の [GHK09]
である。
Gaucher の [Gau08b] によると, [Gau05] で定義された branching (merging) homology
とうまく合うのは, flow の category だけらしい。
Fajstrup と Rosický の [FR08] では, Jeff Smith のアイデアに基づいた “convenient category”
が提案されている。
Husainov [Hus04] は, small category の1次のホモロジー群を flow として解釈することを提案している。 その後,
[Hus] では Baues-Wirsching homology を使うことを考えている。
計算機科学以外での directed homotopy theory の応用として, Lee と Yetter [LY22b; LY22a]
による試みがある。 3次元多様体の中に link やその Seifert surface が含まれている状況を stratified space
と考え, その stratified space から Grandis の意味の directed space を作り, それに対し directed
homotopy theory で開発された不変量を適用することを, 考えている。使っているのは, 主に fundamental category
であるが。
References
-
[Bub]
-
Peter Bubenik. Context for models of concurrency. arXiv:
math/0608733.
-
[Bub09]
-
Peter Bubenik. “Models and
van Kampen theorems for directed homotopy theory”. In: Homology,
Homotopy Appl. 11.1 (2009), pp. 185–202. arXiv: 0810.4164. url:
http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832565.
-
[FR08]
-
L. Fajstrup and J. Rosický. “A convenient category for directed
homotopy”. In: Theory Appl. Categ. 21 (2008), No. 1, 7–20. arXiv:
0708.3937.
-
[Gau]
-
Philippe Gaucher. T-homotopy and refinement of observation (I) :
Introduction. arXiv: math/0505152.
-
[Gau03]
-
Philippe Gaucher. “A model category for the homotopy theory of
concurrency”. In: Homology
Homotopy Appl. 5.1 (2003), pp. 549–599. arXiv: math/0308054.
url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839943.
-
[Gau05]
-
Philippe Gaucher. “Homological properties of non-deterministic
branchings of mergings in higher dimensional automata”. In:
Homology
Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 51–76. arXiv: math/0305169. url:
http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839506.
-
[Gau06a]
-
Philippe Gaucher. “T-homotopy and refinement of observation. III.
Invariance of the branching and merging homologies”. In: New
York J. Math. 12 (2006), pp. 319–348. arXiv: math/0505329. url:
http://nyjm.albany.edu:8000/j/2006/12_319.html.
-
[Gau06b]
-
Philippe Gaucher. “T-homotopy and refinement of observation.
IV. Invariance of the underlying homotopy type”. In: New York
J. Math. 12 (2006), pp. 63–95. arXiv: math/0505331. url:
http://nyjm.albany.edu:8000/j/2006/12_63.html.
-
[Gau07]
-
Philippe Gaucher. “T-Homotopy and refinement of observation. II.
Adding new T-homotopy equivalences”. In: Int. J. Math. Math. Sci.
(2007), Art. ID 87404, 20. arXiv: math/0505328.
-
[Gau08a]
-
Philippe Gaucher. “Globular realization and cubical underlying
homotopy type of time flow of process algebra”. In: New York
J. Math. 14 (2008), pp. 101–137. arXiv: 0708.3584. url:
http://nyjm.albany.edu:8000/j/2008/14_101.html.
-
[Gau08b]
-
Philippe Gaucher. “Towards a homotopy theory of process algebra”.
In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 353–388. arXiv:
math/0701552.
-
[Gau09]
-
Philippe Gaucher. “Homotopical interpretation of globular complex
by multipointed \(d\)-space”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009),
pp. 588–621. arXiv: 0710.3553.
-
[Gau21]
-
Philippe Gaucher. “Homotopy theory of Moore flows (I)”. In:
Compositionality 3.3 (2021), p. 38. arXiv: 2010.13664.
-
[GHK09]
-
Eric Goubault, Emmanuel Haucourt, and Sanjeevi Krishnan.
“Covering space theory for directed topology”. In: Theory Appl.
Categ. 22 (2009), No. 9, 252–268. arXiv: 0812.1157.
-
[Graa]
-
Marco Grandis. The topology of critical processes, II (The
fundamental category). arXiv: 2401.16290.
-
[Grab]
-
Marco Grandis. The topology of critical processes, III (Computing
homotopy). arXiv: 2409.02972.
-
[Gra09]
-
Marco Grandis. Directed algebraic topology.
Vol. 13. New Mathematical Monographs. Models of non-reversible
worlds. Cambridge: Cambridge University Press, 2009, pp. x+434.
isbn: 978-0-521-76036-2. url:
http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511657474.
-
[Gra24]
-
Marco Grandis. “The topology of critical processes, I (processes
and models)”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 65.1 (2024),
pp. 3–34. arXiv: 2309.01991.
-
[Hus]
-
Ahmet A. Husainov. The Homology Groups of a Partial Trace
Monoid Action. arXiv: 1111.0854.
-
[Hus04]
-
Ahmet A. Husainov.
“On the homology of small categories and asynchronous transition
systems”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 439–471.
url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839561.
-
[Kah12]
-
Thomas Kahl.
“Some collapsing operations for 2-dimensional precubical sets”. In: J.
Homotopy Relat. Struct. 7.2 (2012), pp. 281–298. arXiv: 1005.5443.
url: https://doi.org/10.1007/s40062-012-0010-7.
-
[Kri09]
-
Sanjeevi
Krishnan. “A convenient category of locally preordered spaces”. In:
Appl. Categ. Structures 17.5 (2009), pp. 445–466. arXiv: 0709.3646.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9140-9.
-
[LY22a]
-
I. J. Lee and D. N. Yetter. “Bicategories for TQFTs with
defects with structure”. In: J. Knot Theory Ramifications 31.1
(2022), Paper No. 2250005, 27. arXiv: 2003.06538. url:
https://doi.org/10.1142/S0218216522500055.
-
[LY22b]
-
I. J. Lee and D. N. Yetter. “Stratified spaces, directed algebraic
topology, and state-sum TQFTs”. In: J. Knot Theory Ramifications
31.4 (2022), Paper No. 2250021, 27. arXiv: 1807.07910. url:
https://doi.org/10.1142/S0218216522500213.
-
[Woo09]
-
Jon Woolf. “The fundamental category of a stratified space”. In: J.
Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 359–387. arXiv: 0811.2580.
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