空間の族により生成された位相

コンパクト生成空間は, コンパクト空間を基準にした位相を持つ空間であるが, より一般に, 位相空間の族 \(\cJ \) を指定し, それらにより「生成」された位相を持つ空間を考えることも考えられている。

Dugger の [Dug03] は Jeff Smith のアイデアにより, 標準的単体の族 \(\Delta =\{\Delta ^n\}_{n\ge 0}\) で生成されたものについて, 基本的な性質をまとめたものである。

• \(\Delta \)-generated space

例えば, 単体的集合の幾何学的実現は, \(\Delta \)-generated space になる。

Shimakawa と Yoshida と Haraguchi の [SYH18] で diffeological space の文脈で numerically generated space として導入されたものも同じものである。 そこでは, diffeological space の圏 \(\category {Diff}\) から位相空間の圏 \(\category {Top}\) への \(D\)-topology を取る functor を用い, 位相空間が \(\Delta \)-generated topology (彼等の言葉では numerically generated topology) を持つための必要十分条件が得られているが, 同じことは, Christensen と Sinnamon と Wu [CSW14] によっても独立に示されている。

Dugger の note には, 一般の空間の族 \(\cJ \) で生成された, \(\cJ \)-generated space の基本的な性質についても書かれている。 Quillen-type の model structure についても書いてある。 ただ, \(\Delta \)-generated space の圏が locally presentable であることの証明が抜けているが, それについては, Fajstrup と Rosický [FR08] で証明が与えられている。

この Fajstrup と Rosický の論文や Gaucher の [Gau09] のよう に, directed algebraic topology で使われている。そこでは, Vogt の [Vog71] や Wyler の [Wyl73] が参照されている。

References

[CSW14]

J. Daniel Christensen, Gordon Sinnamon, and Enxin Wu. “The \(D\)-topology for diffeological spaces”. In: Pacific J. Math. 272.1 (2014), pp. 87–110. arXiv: 1302.2935. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2014.272.87.

[Dug03]

Danial Dugger. Notes on Delta-generated spaces. 2003. url: http://pages.uoregon.edu/ddugger/delta.html.

[FR08]

L. Fajstrup and J. Rosický. “A convenient category for directed homotopy”. In: Theory Appl. Categ. 21 (2008), No. 1, 7–20. arXiv: 0708.3937.

[Gau09]

Philippe Gaucher. “Homotopical interpretation of globular complex by multipointed \(d\)-space”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), pp. 588–621. arXiv: 0710.3553.

[SYH18]

Kazuhisa Shimakawa, Kohei Yoshida, and Tadayuki Haraguchi. “Homology and cohomology via enriched bifunctors”. In: Kyushu J. Math. 72.2 (2018), pp. 239–252. arXiv: 1010 . 3336. url: https://doi.org/10.2206/kyushujm.72.239.

[Vog71]

Rainer M. Vogt. “Convenient categories of topological spaces for homotopy theory”. In: Arch. Math. (Basel) 22 (1971), pp. 545–555.

[Wyl73]

Oswald Wyler. “Convenient categories for topology”. In: General Topology and Appl. 3 (1973), pp. 225–242.