コンパクト生成位相

連続写像の集合に compact-open topology を入れると, 位相空間とみなすことができ, ある意味, 位相空間の圏を一つの閉じた世界と考えることができる。 この点は可微分多様体と smooth map のなす圏に比べて大きな利点である。しかしながら, 写像に関する様々な操作ではうまくいかないものもある。

写像の合成で与えられる \[ \mathrm {Map}(Y,Z)\times \mathrm {Map}(X,Y) \longrightarrow \mathrm {Map}(X,Z) \] は連続になるとは限らないし, adjoint を取る対応 \[ \mathrm {Map}(X\times Y,Z) \longrightarrow \mathrm {Map}(X,\mathrm {Map}(Y,Z)) \] も同相になるとは限らない。

最初の条件は, 位相空間の圏が, 自分自身で enrich された圏になるための条件であり, 2番目は cartesian closed category になるための条件である。

写像空間や直積空間を含めた, 様々な空間の操作で閉じた位相空間の圏として Steenrod [Ste67] は, コンパクト生成位相を持つ空間の圏を “convenient category” として提案した。 現在, コンパクト生成空間の圏は, 単体的集合の圏と並んで, 代数的トポロジーを行なう場として最も一般的なものとなっている。 Steenrod の論文では, Hausdorff の仮定を入れているが, McCord [McC69] は, weak Hausdorff を仮定することを提案している。 Hausdorff 空間は, 商空間などの操作で閉じていないため, 現在では weak Hausdorff を仮定するのが普通である。

コンパクト生成空間について書かれたものとしては, 他には [Kel75; Hov99; Rud98; Vog71] などがある。出版されていないものでは, Lewis の thesis [Lew78] の Appendix A, Strickland の [Str], Rezk の [Rez] などがある。

• weak Hausdorff space
• \(k\)空間 (Kelley 空間)
• 位相空間を \(k\)空間にする関手 \[ k : \category {Top} \longrightarrow \enriched {k}{\category {Top}} \]
• \(k\)空間が weak Hausdorff であるための必要十分条件は, 対角写像 \(\Delta : X \to X\times X\) の像が \(k(X\times X)\) で閉集合であること。
• コンパクト生成空間 (compactly generated space)

Steenrod が [Ste67] で考えたのは, \(k\)空間で Hausdorff なものであるが, 現在はweak Hausdorff space を考えるのが普通である。 以下位相空間の圏を \(\category {Top}\), \(k\)空間の圏を \(\enriched {k}{\category {Top}}\), コンパクト生成空間の圏を \(\category {CG}\) で表わす。

これらの圏でホモトピー論を行なうためには, これらの圏を model category として考える必要がある。そのために, まず limit と colimit について知る必要がある。

• \(k\)空間の圏での colimit は, 位相空間の圏での colimit
• コンパクト生成空間の圏での colimit は, \(k\)空間の圏での colimit の maximal weak Hausdorff quotient
• \(k\)空間の圏での limit は, 位相空間の圏での limit に関手 \(k\) を apply したもの
• コンパクト生成空間の圏での limit は位相空間の圏での limit に関手 \(k\) を apply したもの

位相空間の圏の model structure として, Quillen による \[ \begin {split} \text {fibration} & = \text {Serre fibration} \\ \text {cofibration} & = \text {inclusion of relative cell complexes} \\ \text {weak equivalence} & = \text {weak homotopy equivalence} \end {split} \] というものがある。 コンパクト生成空間の圏でも同様のモデル構造が考えられるが, これについては, Hovey の本 [Hov99] に詳しい。

位相空間の圏のモデル構造として, もう一つの選択肢は \[ \begin {split} \text {fibration} & = \text {Hurewicz fibration} \\ \text {cofibration} & = \text {NDR pair} \\ \text {weak equivalence} & = \text {homotopy equivalence} \end {split} \] というものである。これは Strøm [Str72] によるものであるが, コンパクト生成空間の圏において同様のことを考えたものとして, Hastings の [Has74] がある。

コンパクト生成空間の一般化としては, 位相空間の圏のある full subcategory \(\cJ \) で 「生成された」 \(\cJ \)-generated space という概念がある。

• \(\cJ \)-generated space

References

[Has74]

Harold M. Hastings. “Fibrations of compactly generated spaces”. In: Michigan Math. J. 21 (1974), 243–251 (1975). url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029001312.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Kel75]

John L. Kelley. General topology. Vol. 27. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1975, p. xiv 298.

[Lew78]

Lemoine Gaunce Jr Lewis. THE STABLE CATEGORY AND GENERALIZED THOM SPECTRA. Thesis (Ph.D.)–The University of Chicago. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1978, (no paging).

[McC69]

M. C. McCord. “Classifying spaces and infinite symmetric products”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 146 (1969), pp. 273–298. url: https://doi.org/10.2307/1995173.

[Rez]

Charles Rezk. Compactly Generated Spaces. url: https://faculty.math.illinois.edu/~rezk/cg-spaces-better.pdf.

[Rud98]

Yuli B. Rudyak. On Thom spectra, orientability, and cobordism. Springer Monographs in Mathematics. With a foreword by Haynes Miller. Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+587. isbn: 3-540-62043-5.

[Ste67]

N. E. Steenrod. “A convenient category of topological spaces”. In: Michigan Math. J. 14 (1967), pp. 133–152. url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1028999711.

[Str]

Neil Strickland. The category of CGWH spaces. url: https://neil-strickland.staff.shef.ac.uk/courses/homotopy/cgwh.pdf.

[Str72]

Arne Strøm. “The homotopy category is a homotopy category”. In: Arch. Math. (Basel) 23 (1972), pp. 435–441. url: https://doi.org/10.1007/BF01304912.

[Vog71]

Rainer M. Vogt. “Convenient categories of topological spaces for homotopy theory”. In: Arch. Math. (Basel) 22 (1971), pp. 545–555.