Closed category と closed monoidal category

可換環上の加群の圏や コンパクト生成空間の圏のように, 2つの object の間の morphism 全体が, またその圏の object (internal-hom) になっている場合がある。 最初にそのような圏を closed category と名付け, その一般的な理論を構築しようとしたのは, Eilenberg と Kelly [EK66] である。

• closed category

上に挙げたような例では, それらの圏は monoidal structure \(\otimes :\bm {V}\times \bm {V}\to \bm {V}\) を持ち, 更に internal-hom \(\Hom (x,-)\) が \((-)\otimes x:\bm {V}\to \bm {V}\) の right adjoint になっている。 このような場合を closed monoidal category という。もちろん, monoidal structure \(\otimes \) が symmetric でないときには, \(x\otimes (-)\) が right adjoint を持つこととは同値とは限らないので, 区別しなければならない。

• symmetric closed monoidal category
• left-closed monoidal category とright-closed monoidal category
• Cartesian closed monoidal category

最後の Cartesian closed monoidal category とは, monoidal structure が直積で与えられる symmetric closed monoidal category のことである。

最近では, closed symmetric monoidal category で limit と colimit で閉じているものを, cosmos と呼ぶこともあるようである。Schäppi の [Sch13] など。 Street [Str04] によると Bénabou によるらしいが, Street が参照している Bénabou の論文 (reports) は, 入手が難しい。 Street の論文 [Str74] を見るのが良いと思う。

• cosmos

Closed monoidal category \(\bm {V}\) の対象 \(K\) の他の圏 \(\bm {C}\) の対象 \(X\) への「作用」として, tensoring (copowering) と powering (cotensoring) がある。

• tensoring (copowering) \(X\otimes K\)
• powering (cotensoring) \(X^{K}\)

例えば, \(\bm {V}\) が 単体的集合の圏で, \(\bm {C}\) が位相空間の圏のとき, \[ \begin {split} X\otimes K & = X\times |K| \\ X^{K} & = \mathrm {Map}(|K|,X) \end {split} \] である。

Manzuyk [Man12] は closed category の成す \(2\)-category が closed multicategory の \(2\)-category に埋め込めることを示している。

• closed multicategory

その Manzyuk の論文によると, closed multicategory の定義が最初に現れた文献は, Bespalov, Lyubashenko との [BLM08] らしい。

Closed category を closed monoidal category に fully faithful に埋め込めることには, Laplaza [Lap77] により証明されている。

Compact closed category は, Kelly により [Kel72] で定義され, Kelly と Laplaza により [KL80] で調べられている。 Houston の [Hou08] によると, computer science, より正確には quantum information [AC] で使われるようになったらしい。

• compact closed category

double category の Cartesian closed 版は, Niefield の [Nie24] で考えられている。

• Cartesian closed double category

References

[AC]

Samson Abramsky and Bob Coecke. A categorical semantics of quantum protocols. arXiv: quant-ph/0402130.

[BLM08]

Yu. Bespalov, V. Lyubashenko, and O. Manzyuk. Pretriangulated \(A_{\infty }\)-categories. Vol. 76. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Mathematics and its Applications. Natsı̄onal\('\)na Akademı̄ya Nauk Ukraı̈ni, Īnstitut Matematiki, Kiev, 2008, p. 599. isbn: 978-966-02-4861-8.

[EK66]

Samuel Eilenberg and G. Max Kelly. “Closed categories”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). New York: Springer, 1966, pp. 421–562.

[Hou08]

Robin Houston. “Finite products are biproducts in a compact closed category”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.2 (2008), pp. 394–400. arXiv: math/0604542. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.05.021.

[Kel72]

G. M. Kelly. “Many-variable functorial calculus. I”. In: Coherence in categories. Berlin: Springer, 1972, 66–105. Lecture Notes in Math., Vol. 281.

[KL80]

G. M. Kelly and M. L. Laplaza. “Coherence for compact closed categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 19 (1980), pp. 193–213. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90101-2.

[Lap77]

Miguel L. Laplaza. “Embedding of closed categories into monoidal closed categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 233 (1977), pp. 85–91. url: https://doi.org/10.2307/1997823.

[Man12]

Oleksandr Manzyuk. “Closed categories vs. closed multicategories”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 5, 132–175. arXiv: 0904.3137.

[Nie24]

Susan Niefield. “Cartesian closed double categories”. In: Theory Appl. Categ. 40 (2024), Paper No. 3, 63–79.

[Sch13]

Daniel Schäppi. “The formal theory of Tannaka duality”. In: Astérisque 357 (2013), pp. viii+140. arXiv: 1112.5213.

[Str04]

Ross Street. “Cauchy characterization of enriched categories”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 4 (2004), pp. 1–16.

[Str74]

Ross Street. “Elementary cosmoi. I”. In: Category Seminar (Proc. Sem., Sydney, 1972/1973). Lecture Notes in Math., Vol. 420. Springer, Berlin, 1974, pp. 134–180.