Exit-Path Category

Exit-path category は, stratified space の点を object, “exit path” を morphism として定義される “category” である。 そして exit path とは, stratification の低い方から高い方へのみ動くことを許された道のことである。 MacPherson のアイデアに基づいたものらしい。 以前, Vidit Nanda と discrete Morse theory に関する共同研究を行なっていたときに, Princeton で MacPherson の下でセミナーが行なわれていることを聞いた。 Nanda から聞いたのは, exit-path category の dual である entrance-path category であったが。

• entrance-path category

このような点を object とし道を morphism として定義する際には, 道の間の ホモトピーも考慮しなければならないので, 必然的に higher category の言葉 を使う必要が出てくる。

最初に登場した文献は Treumann の [Tre09] であるが, そこでは \(2\)-category として定義されている。 より正確には \((\infty ,1)\)-category として 定義すべきものであり, それについては Lurie の [Lur] の Appendix A, 特に A.5とA.6で詳しく述べられている。

• exit-path \(\infty \)-category

Lurie は, conical という条件を付けて quasicategory として定義しているが, このような具体的なモデルや条件に依らない公理的扱いとしては, Clausen と Ørsnes Jansen の [CJ24] がある。そこでは exit-path \(\infty \)-category を持つ条件が考えられている。 Haine, Porta, Teyssier の [HPT] では, そのような stratified space は, exodromic stratified space と呼ばれている。

• exodromic stratified space

MacPherson の動機は constructible sheaf の圏を記述することであったが, それについては, Lurie の本で述べられている。

• constructible sheaf
• exodromy equivalence

コンパクトな空間上の exit-path \(\infty \)-category は「小さい」ことが期待されるが, Volpe [Vol] は, コンパクトな conically smooth stratified space の exit-path \(\infty \)-category は finite であることを示している。

• finite \((\infty ,1)\)-category

変種として, Barwick, Glasman, Haine [BGH] により scheme \(X\) に対し定義された topological category \(\mathrm {Gal}(X)\) がある。 彼等は, これを étale exit-path category とみなすべき, と言っている。

別のアプローチとしては, Tetik [Tet; Tet24] による linked space という span から作られる exit-path \(\infty \)-category がある。

• linked space

References

[BGH]

Clark Barwick, Saul Glasman, and Peter Haine. Exodromy. arXiv: 1807.03281.

[CJ24]

Dustin Clausen and Mikala Ørsnes Jansen. “The reductive Borel–Serre compactification as a model for unstable algebraic K-theory”. In: Selecta Math. (N.S.) 30.1 (2024), Paper No. 10. arXiv: 2108.01924. url: https://doi.org/10.1007/s00029-023-00900-8.

[HPT]

Peter J. Haine, Mauro Porta, and Jean-Baptiste Teyssier. Exodromy beyond conicality. arXiv: 2401.12825.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Tet]

Ödül Tetik. Linked spaces and exit paths. arXiv: 2301.02063.

[Tet24]

Ödül Tetik. “Towards Linked Topology”. PhD thesis. Universitaät Zürich, 2024. url: https://o-tetik.github.io/pdf/thesis-postpub.pdf.

[Tre09]

David Treumann. “Exit paths and constructible stacks”. In: Compos. Math. 145.6 (2009), pp. 1504–1532. arXiv: 0708.0659. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X09004229.

[Vol]

Marco Volpe. Verdier duality on conically smooth stratified spaces. arXiv: 2206.02728.