Symmetric Tensor Category or Pre-Tannakian Category

体 \(k\) 上の \(k\)-linear Abelian category である rigid symmetric monoidal category で, monoidal unit の endomorphism ring が \(k\) で, ある種の有限性をみたすものを symmetric tensor category という。 Etingof と Kannan の lecture note [EK23] があるので, まずはこれを見てみるのがよいと思う。

ただし, Comes と Ostrik [CO14] や Harman と Snowden の [HSa] のように, pre-Tannakian category と呼ぶ人も多い。 この用語は, 標数\(0\)の代数的閉体上のある条件をみたす symmetric tensor category は, super-Tannakian category になるという Deligne の定理 [Del02] を意識してのものだと思う。

Deligne は, [Del96; Del07] で対称群や一般線形群の表現の圏を interpolate する symmetric tensor category を構成している。

• Deligne’s category of representations

その構成はいくつかの方向に拡張されているが, 興味深いものとして oligomorphic group に基いたものがある。Harman と Snowden [HSb] による。

Harman と Snowden は [HSa] で discrete pre-Tannakian category の概念を導入し, それらが oligomorphic group から得られることを示している。 つまり Galois category の理論での profinite group のような役割りを oligomorphic group が果しているようである。

References

[CO14]

Jonathan Comes and Victor Ostrik. “On Deligne’s category \(\underline {\mathrm {Rep}}^{ab}(S_d)\)”. In: Algebra Number Theory 8.2 (2014), pp. 473–496. arXiv: 1304.3491. url: https://doi.org/10.2140/ant.2014.8.473.

[Del02]

P. Deligne. “Catégories tensorielles”. In: Mosc. Math. J. 2.2 (2002). Dedicated to Yuri I. Manin on the occasion of his 65th birthday, pp. 227–248.

[Del07]

P. Deligne. “La catégorie des représentations du groupe symétrique \(S_{t}\), lorsque \(t\) n’est pas un entier naturel”. In: Algebraic groups and homogeneous spaces. Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. Mumbai: Tata Inst. Fund. Res., 2007, pp. 209–273.

[Del96]

Pierre Deligne. “La série exceptionnelle de groupes de Lie”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 322.4 (1996), pp. 321–326.

[EK23]

Pavel Etingof and Arun S. Kannan. “Lectures on symmetric tensor categories”. In: Representations of algebras and related structures. EMS Ser. Congr. Rep. EMS Press, Berlin, [2023] ©2023, pp. 191–234. arXiv: 2103.04878.

[HSa]

Nate Harman and Andrew Snowden. Discrete pre-Tannakian categories. arXiv: 2304.05375.

[HSb]

Nate Harman and Andrew Snowden. Oligomorphic groups and tensor categories. arXiv: 2204.04526.