Deligne’s Category of Representations

Deligne [Del96; Del07] は, 対称群の表現の成すtensor category を一般化することにより, 自然数とは限らない \(t\) に対し, “\(t\)次対称群の表現の圏”を定義した。

• \(\underline {\mathrm {Rep}}(S_{t})\)

論文は, Deligne のホームページから入手できる。 Comesと O strik [CO11] が詳しく調べている。

その後, 様々な一般化が試みられている。 まず, Comes と Wilson [CW12] による GL版がある。 Comes は [Com14] でその braided monoidal category としての ideal を調べている。 また直交群版もある。 Comes と Heidersdorf [CH17] により調べられている。

• \(\underline {\mathrm {Rep}}(\GL _{\delta })\)
• \(\underline {\mathrm {Rep}}(O_{\delta })\)

Abelian category から tensor category を作るプロセスに一般化したのが, Knop の [Kno06] である。さらに [Kno07] で, Abelian category を含んだ regular category に対する一般化を考えている。Mori の [Mor12] は, linear monoidal category から linear monoidal category を作る bicategory の morphism として一般化したものである。Mathew の [Mat13] もある。

Nyobe Likeng と Savage [NS21] は, その Karoubi envelope が Knop の category になるような, partition category と呼ばれる category を群から構成している。

無限次対称群や有限体 \(\F \) 上の無限次一般線形群 \(\mathrm {GL}_{\infty }(\F )\) (とそれらの canonical な作用) を一般化した構造として, oligomorphic group という構造があるが, それに対する Deligne category の一般化が, Harman と Snowden [HS] により導入されている。

• measure を持つ oligomorphic group に付随する rigid tensor category

References

[CH17]

Jonathan Comes and Thorsten Heidersdorf. “Thick ideals in Deligne’s category \(\underline {\mathrm {Rep}}(O_\delta )\)”. In: J. Algebra 480 (2017), pp. 237–265. arXiv: 1507. 06728. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.01.050.

[CO11]

Jonathan Comes and Victor Ostrik. “On blocks of Deligne’s category \(\underline {\rm Re}{\rm p}(S_t)\)”. In: Adv. Math. 226.2 (2011), pp. 1331–1377. arXiv: 0910.5695. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.08.010.

[Com14]

Jonathan Comes. “Ideals in Deligne’s category \(\underline {\mathrm {Rep}}(GL_\delta )\)”. In: Math. Res. Lett. 21.5 (2014), pp. 969–984. arXiv: 1201 . 5669. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2014.v21.n5.a4.

[CW12]

Jonathan Comes and Benjamin Wilson. “Deligne’s category \(\underline {\mathrm {Rep}}(GL_\delta )\) and representations of general linear supergroups”. In: Represent. Theory 16 (2012), pp. 568–609. arXiv: 1108 . 0652. url: https://doi.org/10.1090/S1088-4165-2012-00425-3.

[Del07]

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[Del96]

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[HS]

Nate Harman and Andrew Snowden. Oligomorphic groups and tensor categories. arXiv: 2204.04526.

[Kno06]

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[Kno07]

Friedrich Knop. “Tensor envelopes of regular categories”. In: Adv. Math. 214.2 (2007), pp. 571–617. arXiv: math / 0610552. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.03.001.

[Mat13]

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[Mor12]

Masaki Mori. “On representation categories of wreath products in non-integral rank”. In: Adv. Math. 231.1 (2012), pp. 1–42. arXiv: 1105.5091. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.05.002.

[NS21]

Samuel Nyobe Likeng and Alistair Savage. “Group partition categories”. In: J. Comb. Algebra 5.4 (2021), pp. 369–406. arXiv: 2007.02743. url: https://doi.org/10.4171/jca/55.