Oligomorphic Groups

Oligomorphic group とは, 集合 \(\Omega \) への faithful action が指定された群で, 各\(n\)に対し \(\Omega ^{n}\) への作用の orbit の数が有限個であるものである。この oligo という接頭辞は, オリゴ糖のオリゴと同じくギリシャ語の「少い」という意味である。

Harman と Snowden [HS] は Cameron の本 [Cam90] を参照しているが, Harman と Snowden の §2 に分かり易いまとめがあるので, まずはそれを読むのが良いと思う。そこに例もいくつか挙げられている。例えば, 無限次対称群 \(\Sigma _{\infty }\) (とその \(\N \) への作用), 有限体 \(\F \) 上の無限次一般線形群 \(\mathrm {GL}_{\infty }(\F )=\colim _{n}\mathrm {GL}_{n}(\F )\) (とその \(\F ^{\infty }=\colim _{n}F^{n}\)) への作用や, \(\R \) の向きを保つ同相写像の成す群 \(\mathrm {Homeo}_{+}(\R )\) などがある。

Harman と Snowden は, oligomorphic group から symmetric tensor category を構成している。その構成は, \(\Sigma _{\infty }\) の場合には, Deligne が対称群の表現の圏の interpolation として構成したもの \(\underline {\mathrm {Rep}}(S_{t})\) と一致している。

• Deligne’s category of representations

Harman と Snowden は, oligomorphic group が model theory に登場する finite structure の Fraïssé limit の automorphism group として現れることが多いことに注意している。

• Fraïssé limit

これについては, Harman と Snowden [HS] の §6.2 にまとめられている。

Harman と Snowden は, 実際には Hausdorff, non-archimedean, Roelcke precompact group に対し, symmetric tensor category を構成している。 Oligomorphic group には, 自然に位相が入り, その位相によりこの条件をみたす群になっているわけである。彼等は, このような群を admissible group と呼んでいる。

Regular とか, normal とか, admissible とか, 何となく「良い性質」を持っているものに付け勝ちな形容詞であるが, 具体的に何を表しているか分からないし, 様々な分野で様々な文脈で使われている言葉なので, 使わない方が良い。

と思っていたら, Snowden は, [Sno] で pro-oligomorphic group と呼ぶことを提案している。この方が良いと思う。

• pro-oligomorphic group

更に, 同じ論文で monoid 版とか small category 版を定義している。

• pro-oligomorphic monoid
• pro-oligomorphic category

References

[Cam90]

Peter J. Cameron. Oligomorphic permutation groups. Vol. 152. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1990, pp. viii+160. isbn: 0-521-38836-8. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511549809.

[HS]

Nate Harman and Andrew Snowden. Oligomorphic groups and tensor categories. arXiv: 2204.04526.

[Sno]

Andrew Snowden. Regular categories, oligomorphic monoids, and tensor categories. arXiv: 2403.16267.