Simplicial Model Categories

ホモトピー論を行なう枠組みには, model category 以外にも様々なものがある。 では, どういう場合に model category を使うかであるが, 私は位相空間で行なうことの類似を行ないたいときに, model category を用いるのが良いと思っている。

ただ, 基本的な model category の公理だけだと, 少々無理がある。 例えば, 位相空間に対し写像空間を用いて行なう構成の真似をしようとと思うと, 2つの object の間の morphism の集合が, ある種の幾何学的対象になっている必要がある。そのために導入されたのが, simplicial model category という概念である。

まず morphism の集合が simplicial set になるということから, model category \(\bm {M}\) が simplicial model category になるためには, \(\bm {M}\) が simplicial set の圏で enrich されている, つまり simplicial category である必要がある。 更に, \(\bm {M}\) の対象 \(X\) と simplicial set \(K\) に対し, \(\bm {M}\) の対象 \(X\otimes K\) と \(X^{K}\) が定義されることも必要である。これらは, 圏論の用語を用いると, simplicial set の成す closed monoidal category による tensoring (copowering) と powering (cotensoring) を持つ, ということである。 そして, model structure と simplicial enrichment の間の関係に関する条件を要求する。

正確な条件や, 基本的な性質は, Hirschhorn の本 [Hir03] の Chapter 9 を読むのがよいだろう。他には, Lurie の本 [Lur09] の appendix の A.3 がある。

もちろん, simplicial set の圏だけでなく, より一般の monoidal model category で enrich された model category を考えることもできる。

• enriched model category

この simplicial model structure は, 安定ホモトピー論を行なうためにも必要になってくる。 \(S^1\) との “smash積” を考える必要があるからである。

一般の model category \(\bm {M}\) が与えられたときに, 2つの object 間の morphism の集合を simplicial set にすることは, 既に Dwyer と Kan [DK80c; DK80a; DK80b] が, model category の localization のために考えている。

Dwyer と Kan は weak equivalence の class \(\bm {W}\) が指定された category \(\bm {M}\) で, 2つの object \(X\) と \(Y\) に対し, \(X\) から \(Y\) へのハンモック型の図式を元とする simplicial set \(L^{H}\bm {M}(X,Y)\) を定義した。

• Dwyer-Kan hammock function complex

一方, \(X\) を constant cosimplicial object とみなし, \(\bm {M}\) の cosimplicial object が Reedy model structure で成す model category での cofibrant replacement

を用いても, simplicial set \(\bm {M}(\widetilde {X}^{\bullet },Y)\) が得られる。\(Y\) を simplicial object の成す model category で fibrant replacement した \(\widehat {Y}_{\bullet }\) を用いても simplicial set \(\bm {M}(X,\widehat {Y}_{\bullet })\) が得られる。 更に, bisimplicial set \(\bm {M}(\widetilde {X}^{\bullet },\widehat {Y}_{\bullet })\) の diagonal としても simplicial set が得られる。 これらについても, Dwyer と Kan の論文 [DK80b] に登場する。 その §5 で比較もされている。その内容は, Hirschhorn の本 [Hir03] の Chapter 16 と 17 で詳しく解説されている。

• homotopy function complex

このように, model category からは simplicial category ができるわけだが, それにより simplicial model category になるかどうかは, Dwyer と Kan 調べていない。

一般に, model category を Quillen equivalence で simplicial model category に置き換えられるかという問題は, Hovey の本 [Hov99] の最後の章に Problem 8.9 として提示されている。 これについては, Dugger [Dug01] と Rezk, Schwede, Shipley [RSS01] による解答がある。また, 簡潔にまとめたものとして Blumberg と Riehl の [BR14] の Appendix A がある。

References

[BR14]

Andrew J. Blumberg and Emily Riehl. “Homotopical resolutions associated to deformable adjunctions”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.5 (2014), pp. 3021–3048. arXiv: 1208.2844. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.3021.

[DK80a]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90113-9.

[DK80b]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Function complexes in homotopical algebra”. In: Topology 19.4 (1980), pp. 427–440. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90025-7.

[DK80c]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Simplicial localizations of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 17.3 (1980), pp. 267–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90049-3.

[Dug01]

Daniel Dugger. “Replacing model categories with simplicial ones”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.12 (2001), 5003–5027 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02661-7.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4. url: https://doi.org/10.1090/surv/099.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[RSS01]

Charles Rezk, Stefan Schwede, and Brooke Shipley. “Simplicial structures on model categories and functors”. In: Amer. J. Math. 123.3 (2001), pp. 551–575. arXiv: math/0101162. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v123/123.3rezk.pdf.