群の orderability

群に, その積と compatible な順序が入るかどうかという問題がある。 歴史的なことについては, 例えば Rivas の thesis [Rivb] の Introduction を見るとよい。

• 群が right (あるいはleft) orderable
• 群が bi-orderable
• Conradian ordering

Anel と Clay の [AC] によると, トポロジーとの関連では, Farrell [Far76] により, 基本群の orderability と 被覆空間の関係が明らかになったことが大きいようである。

Short と Wiest の [SW00] の section 1 にまとめがあるが, そこでは standard reference として, Rhemtulla と Mura の本 [BR77] が挙げられている。

Short と Wiest の論文は, mapping class group に関するものであるが, 最近では, 低次元トポロジーでよく群の orderability が使われるし, 調べられている。 例えば, 3次元多様体の 基本群の orderability については, Boyer らの [BRW05; BGW13; BC17] や Clay と Watson の [CW] などがある。 トポロジーとの関係では, 最近 Clay と Rolfsen の本 [CR] も出た。

有名な結果として, Dehornoy [Deh94; Deh00] による, braid 群 \(\mathrm {Br}_n\) が right orderable であるというものがある。

群の orderability の定義は積しか使っていないので, monoid や semigroup などへも一般化できる。Dabkowski ら [Dab+07] は, 結合法則も仮定しない magma の場合を考えている。

• magma や semigroup の orderability

可算群の orderability は \(\R \) への向きを保つ faithful な作用があるかどうかで, 特徴付けられる。 これは全順序を考えているから \(\R \) (一直線) なのであって, partial order ならば分岐があるものを考えるのが自然である。 これについては, Horak と Stein の結果 [HS10] がある。

• 群の partial orderability

また, preorder を持つ群を調べている人もいる。 もっとも, 群に積と compatible な preorder を定めることは, conjugation で不変な部分 monoid を指定することと同値なので, 全ての群は preordered group の構造を持つ。このこと, そして preordered group の圏の構造については, Clementino らの [CMM19] を見るとよい。

• preordered group

Dabkowski ら [Dab+07] は, 順序の成す集合の位相について考えている。Rivas の thesis [Rivb] によると, Sikora [Sik04] と Ghys により独立により定義されたもののようである。 もちろん, partial order の成す空間も考えることができる。例えば, Rivas の [Riva] で使われている。

• 群 (や magma) のleft (right) ordering (や bi-ordering) の集合上の位相
• 群の left (right) partial ordering の集合上の位相

Linnell [Lin] によると, left ordering の空間は, 有限でなければ非可算になるらしい。

Navas と Rivas の [NR10] では, Richard Thompson の群 \(F\) の bi-ordering の成す空間が決定されている。Rivas [Riva] は, 2つの有限生成 left orderable group の free product の left ordering の空間が Cantor set と同相であることを示している。

\(G\)-set など, より一般的なものの orderability については, Anel と Clay が [AC] で考えている。

References

[AC]

Mathieu Anel and Adam Clay. Orderable groups and bundles. arXiv: 1208.5844.

[BC17]

Steven Boyer and Adam Clay. “Foliations, orders, representations, L-spaces and graph manifolds”. In: Adv. Math. 310 (2017), pp. 159–234. arXiv: 1401.7726. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.01.026.

[BGW13]

Steven Boyer, Cameron McA. Gordon, and Liam Watson. “On L-spaces and left-orderable fundamental groups”. In: Math. Ann. 356.4 (2013), pp. 1213–1245. arXiv: 1107.5016. url: https://doi.org/10.1007/s00208-012-0852-7.

[BR77]

Roberta Botto Mura and Akbar Rhemtulla. Orderable groups. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Vol. 27. Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, 1977, pp. iv+169.

[BRW05]

Steven Boyer, Dale Rolfsen, and Bert Wiest. “Orderable 3-manifold groups”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55.1 (2005), pp. 243–288. arXiv: math/0211110. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2005__55_1_243_0.

[CMM19]

Maria Manuel Clementino, Nelson Martins-Ferreira, and Andrea Montoli. “On the categorical behaviour of preordered groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 223.10 (2019), pp. 4226–4245. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2019.01.006.

[CR]

Adam Clay and Dale Rolfsen. Ordered groups and topology. arXiv: 1511.05088.

[CW]

Adam Clay and Liam Watson. Left-orderable fundamental groups and Dehn surgery. arXiv: 1009.4176.

[Dab+07]

M. A. Dabkowska, M. K. Dabkowski, V. S. Harizanov, J. H. Przytycki, and M. A. Veve. “Compactness of the space of left orders”. In: J. Knot Theory Ramifications 16.3 (2007), pp. 257–266. arXiv: math/0606264. url: https://doi.org/10.1142/S0218216507005300.

[Deh00]

Patrick Dehornoy. Braids and self-distributivity. Vol. 192. Progress in Mathematics. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000, pp. xx+623. isbn: 3-7643-6343-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-8442-6.

[Deh94]

Patrick Dehornoy. “Braid groups and left distributive operations”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 345.1 (1994), pp. 115–150. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154598.

[Far76]

F. Thomas Farrell. “Right-orderable deck transformation groups”. In: Rocky Mountain J. Math. 6.3 (1976), pp. 441–447.

[HS10]

Matthew Horak and Melanie Stein. “Partially ordered groups which act on oriented order trees”. In: Rocky Mountain J. Math. 40.5 (2010), pp. 1527–1578. arXiv: math/0503407. url: http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-2010-40-5-1527.

[Lin]

Peter A. Linnell. The space of left orders of a group is either finite or uncountable. arXiv: 0909.2497.

[NR10]

Andrés Navas and Cristóbal Rivas. “Describing all bi-orderings on Thompson’s group \(F\)”. In: Groups Geom. Dyn. 4.1 (2010), pp. 163–177. arXiv: 0808.1688. url: https://doi.org/10.4171/GGD/78.

[Riva]

Cristóbal Rivas. Left-orderings on free products of groups. arXiv: 1106.2094.

[Rivb]

Cristóbal Rivas. Orderable groups. arXiv: 1012.5784.

[Sik04]

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[SW00]

Hamish Short and Bert Wiest. “Orderings of mapping class groups after Thurston”. In: Enseign. Math. (2) 46.3-4 (2000), pp. 279–312. arXiv: math/9907104.