Atiyah-Segal Completion Theorem

Atiyah は [Ati61] で, 有限群 \(G\) に対し, その 分類空間の \(K\)-theory \(K(BG)\) が \(G\) の representation ring \(R(G)\) の augmentation ideal に関する completion と同型であることを証明したが, その一般化として, Atiyah と Segal [AS69] は, 次のことを示している。

• \(G\) が compact Lie群で \(X\) が compact, そして \(K^*_G(X)\) が \(R(G)\) 上 finite のとき, 自然な写像

  \[ K_G^*(X) \longrightarrow K^*(EG\times _G X) \]
  は augmentation ideal で completion すると同型を誘導する。

一方, equivariant \(K\)-theory と表現環の local cohomology の関係を調べたのが, Greenlees の [Gre93] である。 その結果の系として, Atiyah-Segal completion theorem の別証が得られる。

Atiyah-Segal completion theorem を, 表現環の自明な群への制限 \(R(G)\to R(\ast )\) に関することとみなすと, より一般の部分群への制限 \(R(G)\to R(H)\) が考えられる。それについては, Adams, Haeberly, Jackowski, May の [Ada+88] がある。Haeberly の thesis と Jackowski の[Jac85] で独立に証明されたのが最初のようであるが。

• 部分群の family に対する Atiyah-Segal completion theorem の一般化

Uuye の [Uuy12] によると, その応用として McClure の [McC86] がある。Uuye はそれの \(KK\)-theory 版を証明している。

• コンパクトLie群 \(G\) と finite \(G\)-CW complex \(X\) に対し, \(x\in K_G(X)\) の各有限部分群への制限 \(\mathrm {res}_{H}^{G}(x)\in K_{H}(X)\) が \(0\) ならば \(x=0\) である。

\(KK\)-theory 以外にも \(K\)-theory の一般化は色々あるが, それらについても Atiyah-Segal completion theorem の類似は考えられている。 Twisted \(K\)-theory に対しては, Lahtinen の [Lah12], algebraic \(K\)-theory に対しては, Krishna の [Kri18], motivic homotopy theory での additive invariant に対しては, Tabuada と Van den Bergh の [TB], Hermitian \(K\)-theory の特別な場合については, Rohrbach の [Roh] で考えられている。

無限群への拡張については, Ramras の [Ram08] を見るとよい。Ramras は, 種数が正の Riemann 面が \(K(\pi ,1)\) であることに着目し, Riemann 面上の Yang-Mills functional の Morse theory を用いて, Riemann 面の基本群として表わされる群について, Atiyah-Segal の定理の類似を証明している。そこでは Carlsson の deformation \(K\)-theory が用いられている点でも興味深い。

References

[Ada+88]

J. F. Adams, J.-P. Haeberly, S. Jackowski, and J. P. May. “A generalization of the Atiyah-Segal completion theorem”. In: Topology 27.1 (1988), pp. 1–6. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(88)90002-X.

[AS69]

M. F. Atiyah and G. B. Segal. “Equivariant \(K\)-theory and completion”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 1–18. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214428815.

[Ati61]

M. F. Atiyah. “Characters and cohomology of finite groups”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 9 (1961), pp. 23–64. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1961__9__23_0.

[Gre93]

J. P. C. Greenlees. “\(K\)-homology of universal spaces and local cohomology of the representation ring”. In: Topology 32.2 (1993), pp. 295–308. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(93)90021-M.

[Jac85]

Stefan Jackowski. “Families of subgroups and completion”. In: J. Pure Appl. Algebra 37.2 (1985), pp. 167–179. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(85)90094-5.

[Kri18]

Amalendu Krishna. “The completion problem for equivariant \(K\)-theory”. In: J. Reine Angew. Math. 740 (2018), pp. 275–317. arXiv: 1201.5766. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2015-0063.

[Lah12]

Anssi Lahtinen. “The Atiyah-Segal completion theorem in twisted \(K\)-theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.4 (2012), pp. 1925–1940. arXiv: 0809.1273. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.1925.

[McC86]

James E. McClure. “Restriction maps in equivariant \(K\)-theory”. In: Topology 25.4 (1986), pp. 399–409. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(86)90019-4.

[Ram08]

Daniel A. Ramras. “Yang-Mills theory over surfaces and the Atiyah-Segal theorem”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.4 (2008), pp. 2209–2251. arXiv: 0710.0681. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.2209.

[Roh]

Herman Rohrbach. On Atiyah-Segal completion for T-equivariant Hermitian K-theory. arXiv: 2203.15518.

[TB]

Gonçalo Tabuada and Michel Van den Bergh. Motivic Atiyah-Segal completion theorem. arXiv: 2009.08448.

[Uuy12]

Otgonbayar Uuye. “Restriction maps in equivariant \(KK\)-theory”. In: J. K-Theory 9.1 (2012), pp. 45–55. arXiv: 1101.1859. url: https://doi.org/10.1017/is011010005jkt168.