Atiyah-Segal Completion Theorem

Atiyah は [Ati61] で, 有限群 \(G\) に対し, その 分類空間の \(K\)-theory \(K(BG)\) が \(G\) の representation ring \(R(G)\) の augmentation ideal に関する completion と同型であることを証明したが, その一般化として, Atiyah と Segal [AS69] は, 次のことを示している。

• \(G\) が compact Lie群で \(X\) が compact, そして \(K^*_G(X)\) が \(R(G)\) 上 finite のとき, 自然な写像

  \[ K_G^*(X) \longrightarrow K^*(EG\times _G X) \]
  は augmentation ideal で completion すると同型を誘導する。

一方, equivariant \(K\)-theory と表現環の local cohomology の関係を調べたのが, Greenlees の [Gre93] である。 その結果の系として, Atiyah-Segal completion theorem の別証が得られる。

Atiyah-Segal completion theorem を, 表現環の自明な群への制限 \(R(G)\to R(\ast )\) に関することとみなすと, より一般の部分群への制限 \(R(G)\to R(H)\) が考えられる。それについては, Adams, Haeberly, Jackowski, May の [Ada+88] がある。Haeberly の thesis と Jackowski の[Jac85] で独立に証明されたのが最初のようであるが。

• 部分群の family に対する Atiyah-Segal completion theorem の一般化

Uuye の [Uuy12] によると, その応用として McClure の [McC86] がある。Uuye はそれの \(KK\)-theory 版を証明している。

• コンパクトLie群 \(G\) と finite \(G\)-CW complex \(X\) に対し, \(x\in K_G(X)\) の各有限部分群への制限 \(\mathrm {res}_{H}^{G}(x)\in K_{H}(X)\) が \(0\) ならば \(x=0\) である。

無限群への拡張については, Ramras の [Ram08] を見るとよい。Ramras は, 種数が正の Riemann 面が \(K(\pi ,1)\) であることに着目し, Riemann 面上の Yang-Mills functional の Morse theory を用いて, Riemann 面の基本群として表わされる群について, Atiyah-Segal の定理の類似を証明している。そこでは Carlsson の deformation \(K\)-theory が用いられている点でも興味深い。

\(KK\)-theory 以外にも \(K\)-theory の一般化は色々あるが, それらについても Atiyah-Segal completion theorem の類似は考えられている。 まず, 安定コホモトピー群に対する類似は, Segal conjecture である。

• Segal conjecture (Carlsson’s theorem)

代数的 \(K\)理論に対しては, 次の結果がある:

• Totaro [Tot99] による split torus の場合
• Knizel と Neshitov [KN14] による \(K_{0}\) の場合
• Krishna の [Kri18]

Hermitian \(K\)-theory については, Rohrbach が調べている。

• Rohrbach [Roh] による特別な場合
• Hornbostel, Rohrbach, Zibrowius [HRZ25] による symplectic grouop の表現に対するもの

他にも次のような場合で類似が知られている:

• Lahtinen [Lah12] による twisted \(K\)-theory 版
• Tabuada と Van den Bergh [TB] による motivic homotopy theory での additive invariant に対する類似

References

[Ada+88]

J. F. Adams, J.-P. Haeberly, S. Jackowski, and J. P. May. “A generalization of the Atiyah-Segal completion theorem”. In: Topology 27.1 (1988), pp. 1–6. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(88)90002-X.

[AS69]

M. F. Atiyah and G. B. Segal. “Equivariant \(K\)-theory and completion”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 1–18. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214428815.

[Ati61]

M. F. Atiyah. “Characters and cohomology of finite groups”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 9 (1961), pp. 23–64. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1961__9__23_0.

[Gre93]

J. P. C. Greenlees. “\(K\)-homology of universal spaces and local cohomology of the representation ring”. In: Topology 32.2 (1993), pp. 295–308. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(93)90021-M.

[HRZ25]

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[Jac85]

Stefan Jackowski. “Families of subgroups and completion”. In: J. Pure Appl. Algebra 37.2 (1985), pp. 167–179. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(85)90094-5.

[KN14]

Alisa Knizel and Alexander Neshitov. “Algebraic analogue of the Atiyah completion theorem”. In: Homology Homotopy Appl. 16.2 (2014), pp. 289–306. arXiv: 1111.4685. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n2.a16.

[Kri18]

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[Lah12]

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[McC86]

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[Ram08]

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[Roh]

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[TB]

Gonçalo Tabuada and Michel Van den Bergh. Motivic Atiyah-Segal completion theorem. arXiv: 2009.08448.

[Tot99]

Burt Totaro. “The Chow ring of a classifying space”. In: Algebraic \(K\)-theory (Seattle, WA, 1997). Vol. 67. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 249–281.

[Uuy12]

Otgonbayar Uuye. “Restriction maps in equivariant \(KK\)-theory”. In: J. K-Theory 9.1 (2012), pp. 45–55. arXiv: 1101.1859. url: https://doi.org/10.1017/is011010005jkt168.