Twisted K-theoryと関連した話題

Twisted \(K\)-theory という \(K\)-theory の変種がある。 最初に定義したのは, Rosenberg [Ros89] なのだろうか。より古い, Donovan と Karoubi による “\(K\)-theory with local coefficient” [DK70], あるいは, Karoubi の thesis [Kar68] が, twisted \(K\)-theory の研究の始まりである, と言った方がいいかもしれない。 実際 Karoubi [Kar08] は, そう主張している。

よく知られるようになったのは, Witten が D-brane charge から twisted \(K\)-theory の元ができることを示した [Wit98] からである。 D-brane charge と twisted \(K\)-theory の関係については, R. Szabo の解説 [Sza13] がある。Adem と Ruan と Zhang の [ARZ] によると, もう一つの source は Vafa による orbifoldのdiscrete torsion という概念 [Vaf86] らしい。

数学的には, Atiyah と Segal の論文[AS04] が登場したことが大きいと思う。 Douglas の [Dou06] の introductionに書いてあるように, twisted \(K\)-theory には様々な解釈があるので, どこから勉強し始めてよいか迷うが, やはり最初は, この Atiyah と Segal の論文から始めるのがよいように思う。

物性での要請により Freed と Moore が [FM13] で導入した twisted equivariant \(K\)-theory について は, Gomi の [Gom23]で詳しく調べられているので, ここから始めるのもいいかもしれない。

• twisted \(K\)-theory の基本
• twisted \(K\)-theory の計算
• twisted \(K\)-theory の変種や一般化
• twisted \(K\)-theory に関連した話題

Hopkins は, 他の cohomology theory を twist する方法もある, と言っているらしいが, それはどうやら, この Douglas の論文 [Dou06] の最初に書いてあることのようである。 Hopkins らは, [And+; And+14b; And+14a] などで, parametrized spectrum を用いた cohomology theory の twisting の理論を構築している。

• 他の twisted cohomology theory

この現代的な twisted cohomology の視点からは, Karoubi や Atiyah-Segal の twisting は, \(K\)-theory の twisting の一部にすぎない。“Full twist” を operator algebra を用いて構成したものとして, Penning の [Pen16] がある。 Brook の [Bro] も見るとよい。

References

[And+]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra. arXiv: 0810.4535.

[And+14a]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “An \(\infty \)-categorical approach to \(R\)-line bundles, \(R\)-module Thom spectra, and twisted \(R\)-homology”. In: J. Topol. 7.3 (2014), pp. 869–893. arXiv: 1403.4325. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtt035.

[And+14b]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “Units of ring spectra, orientations and Thom spectra via rigid infinite loop space theory”. In: J. Topol. 7.4 (2014), pp. 1077–1117. arXiv: 1403.4320. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtu009.

[ARZ]

Alejandro Adem, Yongbin Ruan, and Bin Zhang. A Stringy Product on Twisted Orbifold \(K\)-theory. arXiv: math/0605534.

[AS04]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory”. In: Ukr. Mat. Visn. 1.3 (2004), pp. 287–330. arXiv: math/0407054.

[Bro]

David Brook. Computations in higher twisted \(K\)-theory. arXiv: 2007.08964.

[DK70]

P. Donovan and M. Karoubi. “Graded Brauer groups and \(K\)-theory with local coefficients”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 38 (1970), pp. 5–25.

[Dou06]

Christopher L. Douglas. “On the twisted \(K\)-homology of simple Lie groups”. In: Topology 45.6 (2006), pp. 955–988. arXiv: math/0402082. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2006.06.007.

[FM13]

Daniel S. Freed and Gregory W. Moore. “Twisted Equivariant Matter”. In: Ann. Henri Poincaré 14.8 (2013), pp. 1927–2023. arXiv: 1208.5055. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00023-013-0236-x.

[Gom23]

Kiyonori Gomi. “Freed-Moore \(K\)-theory”. In: Comm. Anal. Geom. 31.4 (2023), pp. 979–1067. arXiv: 1705.09134.

[Kar08]

Max Karoubi. “Twisted \(K\)-theory—old and new”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 117–149. arXiv: math/0701789. url: https://doi.org/10.4171/060-1/5.

[Kar68]

Max Karoubi. “Algèbres de Clifford et \(K\)-théorie”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 1 (1968), pp. 161–270.

[Pen16]

Ulrich Pennig. “A non-commutative model for higher twisted \(K\)-theory”. In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 27–50. arXiv: 1502.02807. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv033.

[Ros89]

Jonathan Rosenberg. “Continuous-trace algebras from the bundle theoretic point of view”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. A 47.3 (1989), pp. 368–381.

[Sza13]

Richard J. Szabo. “D-branes and bivariant K-theory”. In: Noncommutative geometry and physics. 3. Vol. 1. Keio COE Lect. Ser. Math. Sci. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, pp. 131–175. arXiv: 0809.3029. url: https://doi.org/10.1142/9789814425018_0005.

[Vaf86]

Cumrun Vafa. “Modular invariance and discrete torsion on orbifolds”. In: Nuclear Phys. B 273.3-4 (1986), pp. 592–606. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(86)90379-2.

[Wit98]

Edward Witten. “D-branes and \(K\)-theory”. In: J. High Energy Phys. 12 (1998), Paper 19, 41 pp. (electronic). arXiv: hep-th/9810188. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/1998/12/019.