Twisted K-theory の基本

Twisted \(K\)-theory の定義にはいくつかの方法がある。 位相空間の \(K\)-theory に様々な解釈があるから当然ではあるが。Gomi の [Gom07] の Introduction にあるように, まず 位相空間の \(K\) 理論の定義に対応したものがある。

• twisted vector bundle による定義
• \(C^*\)-algebra による定義
• Fredholm operator の成す空間を用いた定義

この中で, 代数的トポロジーの視点からは, 最後のもの, つまり projective Hilbert space bundle を使う方法が分りやすい, ように思う。 そのためにまず知っておく必要があるのが, Kuiper の定理 [Kui65] である。

• 複素数体上の無限次元 separable Hilbert space \(H\) に対し, その上の unitary operator の成す群 \(U(H)\) は可縮である。よって \(PU(H) = U(H)/S^1\) とすると, \[ PU(H) \simeq BS^1 \simeq \CP ^{\infty } \simeq K(\Z ,2) \] である。

ここで Kuiper の証明しているのは \(U(H)\) に norm topology で位相を入れた場合の可縮性であることに注意する。一方で fiber bundle の理論を考えるときには, \(U(H)\) に compact-open topology を入れる。 そして, compact-open topology で \(U(H)\) が可縮であることは, Atiyah と Segal の [AS04] の Proposition A2.1 に書いてある。 ところが, compact-open topology を入れると \(U(H)\) が位相群になるかどうか分からないという問題が起きる。 逆元を対応させる写像が, 連続になる保証がないからである。 Atiyah と Segal はそれを回避する方法を提案しているが, Espinosa と Uribe [EU14] によると, \(U(H)\) は compact-open topology で位相群になるようである。

この, \(U(H)\) の位相については, この nLab の記事が詳しい。そこでは, \(U(H)\) 上の位相として, 次の4つが比較されている。

• norm topology
• strong operator topology
• weak operator topology
• compact-open topology

nLab の記事では, \(U(H)\) が norm topology で Banach Lie 群になることについては, Schottenloher の [Sch] が参照されている。 Weak operator topology と strong operator topology が一致することについては, Hilgert と Neeb の [HN93] を, 更に compact-open topology も一致し, それにより位相群になることについては, この2つの文献に加え, Espinosa と Uribe の [EU14] が挙げられている。

さて, \(3\)次元の コホモロジー類 \(\alpha \in H^3(X;\Z )\) が与えられたとき, それを ホモトピー集 合 \[ [X,K(\Z ,3)] \cong [X,BPU(H)] \] の元とみなすことにより, \(X\) 上の principal \(PU(H)\)-bundle \[ P_{\alpha } \longrightarrow X \] ができる。 そして, \(PU(H)\) の Fredholm operator の成す空間 \(\mathrm {Fred}(H)\) への作用を用いて, \(\mathrm {Fred}(H)\)-bundle \[ P_{\alpha }\times _{PU(H)}\mathrm {Fred}(H) \longrightarrow X \] ができる。この bundle の section のホモトピー類の成す群というのが twisted \(K\)-theory \(K_{\alpha }(X)\) の定義である。 この\(3\)次のコホモロジー類を Diximier-Douady class という。

• Diximier-Douady class

Diximier-Douady class については, Schochet による AMS の Notices の解説 [Sch09] がある。この Schochet の解説を読めば, \(C^*\)-algebra による定義との関係も分かるだろう。

Twisted vector bundle によるものとしては, Karoubi の [Kar12] がある。Gomi のアプローチ [Gom07; Gom10] は Furuta による vectorial bundle という vector bundle の一般化の twisted version を使うものであり, 通常の vector bundle の twisted version を使う場合の欠点を克服しようという試みである。

他には, ある algebra bundle の section の homotopy 類として定義する方法もある。 これも Atiyah と Segal の論文に解説してある。

このように様々な構成があるが, その一意性については, 例えば Antieau と Gepner と Gómez の [AGG14] で議論されている。

Twisted \(K\)-theory は, 位相空間の \(K\)-theory と類似の性質も持つ。ただし, twisting を表わす \(3\)次元コホモロジー類に関する部分も適当に変えないといけないので, 位相空間の \(K\)-theory に関する性質に対応する性質の, 正確な記述を見付けるのは結構大変である。

例えば, 連続写像 \(f : X \to Y\) から誘導された写像を考えるときには, 値域の twisting もそれに応じたものにとらないといけない。Thom isomorphism や push-forward homomorphism については, Carey と Wang の [CW08] にある。

• 連続写像から誘導された写像
• twisted \(K\)-theory の Thom isomorphism

Poincaré duality については, Tu の [Tu09] がある。 \(C^*\)-algebra の twisted \(K\)-theory として \(KK\)-theory を用いて考えている。

Adams operation については, Atiyah と Segal の [AS06] で考えられている。 Lie 群の場合は, Fok [Fok17; Fok24] により考えられている。

• Adams operation on twisted \(K\)-theory

\(K\)-homology の twisted version については Wang が [Wan08] で Baum-Douglas の理論の twisted version として考えている。 Lie groupoid の Baum-Douglas 型 twisted \(K\)-homology は, Rouse と Wang が [CW16] で使っている。

• twisted geometric \(K\)-homology

References

[AGG14]

Benjamin Antieau, David Gepner, and José Manuel Gómez. “Actions of \(K(\pi ,n)\) spaces on \(K\)-theory and uniqueness of twisted \(K\)-theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 366.7 (2014), pp. 3631–3648. arXiv: 1106.5099. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05937-0.

[AS04]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory”. In: Ukr. Mat. Visn. 1.3 (2004), pp. 287–330. arXiv: math/0407054.

[AS06]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory and cohomology”. In: Inspired by S. S. Chern. Vol. 11. Nankai Tracts Math. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, pp. 5–43. arXiv: math/0510674.

[CW08]

Alan L. Carey and Bai-Ling Wang. “Thom isomorphism and push-forward map in twisted \(K\)-theory”. In: J. K-Theory 1.2 (2008), pp. 357–393. arXiv: math/0507414. url: http://dx.doi.org/10.1017/is007011015jkt011.

[CW16]

Paulo Carrillo Rouse and Bai-Ling Wang. “Geometric Baum-Connes assembly map for twisted differentiable stacks”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 49.2 (2016), pp. 277–323. arXiv: 1402.3456. url: https://doi.org/10.24033/asens.2283.

[EU14]

Jesús Espinoza and Bernardo Uribe. “Topological properties of the unitary group”. In: JP J. Geom. Topol. 16.1 (2014), pp. 45–55. arXiv: 1407.1869.

[Fok17]

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[Fok24]

Chi-Kwong Fok. “Adams operations on the twisted K-theory of compact Lie groups”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 19.2 (2024), pp. 99–120. arXiv: 2110.09644. url: https://doi.org/10.1007/s40062-024-00342-9.

[Gom07]

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[Gom10]

Kiyonori Gomi. “Twisted \(K\)-theory and finite-dimensional approximation”. In: Comm. Math. Phys. 294.3 (2010), pp. 863–889. arXiv: 0803.2327. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0971-5.

[HN93]

Joachim Hilgert and Karl-Hermann Neeb. Lie semigroups and their applications. Vol. 1552. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1993, pp. xii+315. isbn: 3-540-56954-5. url: https://doi.org/10.1007/BFb0084640.

[Kar12]

Max Karoubi. “Twisted bundles and twisted \(K\)-theory”. In: Topics in noncommutative geometry. Vol. 16. Clay Math. Proc. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 223–257. arXiv: 1012.2512.

[Kui65]

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[Sch]

Martin Schottenloher. The Unitary Group In Its Strong Topology. arXiv: 1309.5891.

[Sch09]

Claude Schochet. “The Dixmier-Douady invariant for dummies”. In: Notices Amer. Math. Soc. 56.7 (2009), pp. 809–816. arXiv: 0902.2025.

[Tu09]

Jean-Louis Tu. “Twisted \(K\)-theory and Poincaré duality”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 361.3 (2009), pp. 1269–1278. arXiv: math/0609556. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04706-5.

[Wan08]

Bai-Ling Wang. “Geometric cycles, index theory and twisted \(K\)-homology”. In: J. Noncommut. Geom. 2.4 (2008), pp. 497–552. arXiv: 0710.1625. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/27.