Kホモロジー

ベクトル束から作る \(K\)群は, Bott 周期性を用いて, 一般コホモロジー論に拡張することができる。

有限 CW複体の上で考えているだけなら, \(S\)-duality により, 形式的にコホモロジーからホモロジーを作ることはできる。 安定ホモトピー論的には, \(K\)理論を表現する スペクトラムを用いて ホモロジー論を定義する方が良いだろう。しかしながら, いづれにせよ, そのような定義では幾何学的な意味を読み取ることはできない。

幸い, \(K\)ホモロジーには, より具体的, そして幾何学的な構成がある。

• Atiyah の elliptic differential operator による \(\mathrm{Ell}(X)\) [Ati70]
• Baum-Douglas の \(K\)ホモロジー
• Kasparov の \(KK\)理論
• Segal の connective \(K\)ホモロジー [Seg77]

Atiyah による, \(K_0(X)\) を“表現する” \(\mathrm{Ell}(X)\) は abstract elliptic operator を用いたもの, つまり \(X\) の 上の vector bundle 上の operator ではなく, その \(C^*\)-algebra 上の module の上の作用素で定義されるものであるが, \(X\) が smooth manifold のときには \(X\) 上の pseudodifferential operator を用いて表わせるらしい。それを特異点を 持った空間に一般化したものとして, Savin らによる一連の研究 [Sav05; NSSa; NSSb] がある。 Stratified manifold や manifold with corners の上の elliptic operator について考えていて, intersection homology や Witt space cobordism, そして\(\mathrm{MU}\) から派生したホモロジー論など, 関連したものが色々ありそうである。

Segal の connective \(K\)ホモロジーの構成は, Dold-Thom による無限対称積を用いた 常ホモロジーの構成の類似であり, 興味深い。そのbivariant version が Dadarlat と Nemethi [DN90] や Walker [Wal02] によって得られている。 Elliptic homology がこの方法で構成でき ると非常に面白い, と思う。

Segal の \(K\)ホモロジーが使われている例として, Kubota の [Kub16] がある。

References

[Ati70]

M. F. Atiyah. “Global theory of elliptic operators”. In: Proc. Internat. Conf. on Functional Analysis and Related Topics (Tokyo, 1969). Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1970, pp. 21–30.

[DN90]

M. Dădărlat and A. Némethi. “Shape theory and (connective) \(K\)-theory”. In: J. Operator Theory 23.2 (1990), pp. 207–291.

[Kub16]

Yosuke Kubota. “The joint spectral flow and localization of the indices of elliptic operators”. In: Ann. K-Theory 1.1 (2016), pp. 43–83. arXiv: 1410.5569. url: https://doi.org/10.2140/akt.2016.1.43.

[NSSa]

V. Nazaikinskii, A. Savin, and B. Sternin. Pseudodifferential Operators on Stratified Manifolds. arXiv: math/0512025.

[NSSb]

V. E. Nazaikinskii, A. Yu. Savin, and B. Yu. Sternin. On the homotopy classification of elliptic operators on stratified manifolds. arXiv: math/0608332.

[Sav05]

Anton Savin. “Elliptic operators on manifolds with singularities and \(K\)-homology”. In: \(K\)-Theory 34.1 (2005), pp. 71–98. arXiv: math/0403335. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-005-1515-1.

[Seg77]

Graeme Segal. “\(K\)-homology theory and algebraic \(K\)-theory”. In: \(K\)-theory and operator algebras (Proc. Conf., Univ. Georgia, Athens, Ga., 1975). Berlin: Springer, 1977, 113–127. Lecture Notes in Math., Vol. 575.

[Wal02]

Mark E. Walker. “Semi-topological \(K\)-homology and Thomason’s theorem”. In: \(K\)-Theory 26.3 (2002), pp. 207–286. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020649830539.