Witt spaceと関連した話題

Witt space とは, Siegel [Sie83] により intersection homology に関して Poincaré duality が成り立つ空間を調べる過程で定義されたものである。

当然, 多様体に関することを Witt space に一般化しようという試みがあっても, 不思議ではない。 例えば, Novikov conjecture を Witt space に拡張しようとしているのは, [Alb+12] である。その際に, Witt space の cobordism が必要になるが, それについては Siegel が調べている。

• Witt space の cobordism は \(2\) を invert すると connective \(\mathrm{KO}\)-homologyで \(2\) をinvert したものと同型
• Witt space の signature package

関連した話題として以下のものがある。

• Banagl の研究 [Ban02; Ban10]
• manifold homotopically stratified spaces [Qui88]
• homotopy Witt space [Fri09a]
• 体 \(k\) に対し, \(k\)-Witt space [Fri09b]

Banagl は, [Ban10]で stratified pseudomanifold \(X\) と perversity \(p\) に対し, Poincaré duality をみたす空間 \(I^{p}X\) を構成している。 Banagl と Maxim の [BM12] では, intersection space と呼ばれている。

• Banagl の intersection space

Friedman は, [Fri09a] で intersection homology に関し Poincaré duality をみたす空間の拡張を考えていて, Quinn の導入した manifold homotopically stratified space で, ある条件をみたすものに対し, Poincaré duality が成り立つことを示している。更に homotopy Witt space を定義している。[Fri09b] では, 係数体 \(k\) を指定し \(k\)-Witt space を定義している。

Siegel の研究で, Witt space の成す cobordism は, ほぼ\(K\)-theory (\(\mathrm{KO}\)-theory) と一致することが分っている。自然な疑問は, 楕円コホモロジーも, このような空間のコボルディズムとして構成できないか, より一般に, \(v_n\)-periodic cohomology が構成できないか, ということである。

\(v_0\)-periodic cohomology (\(\Q \) 係数 ordinary cohomology) の特異点を持つ多様体への拡張である intersection cohomology に関し Poincaré duality をみたす空間の cobordism を用いて, \(v_1\)-periodic cohomology が定義されたわけであるから, \(v_{n-1}\)-periodic cohomology の intersection版がもし定義できれば, そこから \(v_n\)-periodic cohomology が作れそうな気がする。

• 「特異点を持つ多様体」に対し定義される「ホモロジー論」で, そのホモロジー論に関し Poincaré duality をみたすような「特異点を持つ多様体」によるコボルディズムが, \(v_n\)-periodic ホモロジーになるようなものが存在するか?

Woolf の仕事 [Woo08] が, 参考になるかもしれない。Friedman [Fri09b] によると, \(k\)-Witt space のコボルディズムで定義されるホモロジー論は, \(k\) が標数有限の体の場合, ordinary homologyの直和になるようである。

References

[Alb+12]

Pierre Albin, Éric Leichtnam, Rafe Mazzeo, and Paolo Piazza. “The signature package on Witt spaces”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 45.2 (2012), pp. 241–310. arXiv: 1112.0989.

[Ban02]

Markus Banagl. “Extending intersection homology type invariants to non-Witt spaces”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 160.760 (2002), pp. x+83. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0760.

[Ban10]

Markus Banagl. Intersection spaces, spatial homology truncation, and string theory. Vol. 1997. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xvi+217. isbn: 978-3-642-12588-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12589-8.

[BM12]

Markus Banagl and Laurentiu Maxim. “Deformation of singularities and the homology of intersection spaces”. In: J. Topol. Anal. 4.4 (2012), pp. 413–448. arXiv: 1101.4883. url: http://dx.doi.org/10.1142/S1793525312500185.

[Fri09a]

Greg Friedman. “Intersection homology and Poincaré duality on homotopically stratified spaces”. In: Geom. Topol. 13.4 (2009), pp. 2163–2204. arXiv: math/0702087. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2009.13.2163.

[Fri09b]

Greg Friedman. “Intersection homology with field coefficients: \(K\)-Witt spaces and \(K\)-Witt bordism”. In: Comm. Pure Appl. Math. 62.9 (2009), pp. 1265–1292. arXiv: 0804.1933. url: http://dx.doi.org/10.1002/cpa.20291.

[Qui88]

Frank Quinn. “Homotopically stratified sets”. In: J. Amer. Math. Soc. 1.2 (1988), pp. 441–499. url: http://dx.doi.org/10.2307/1990924.

[Sie83]

P. H. Siegel. “Witt spaces: a geometric cycle theory for \(K\mathrm{O}\)-homology at odd primes”. In: Amer. J. Math. 105.5 (1983), pp. 1067–1105. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374334.

[Woo08]

Jon Woolf. “Witt groups of sheaves on topological spaces”. In: Comment. Math. Helv. 83.2 (2008), pp. 289–326. arXiv: math/0510196. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/125.