Intersection Space

Banagl は, [Ban10] で stratified pseudomanifold \(X\) と perversity \(p\) に対し, そのホモロジーが intersection homology での Poincaré duality の類似をみたす空間 \(I^{p}X\) を構成した。Intersection space と呼ばれている。

Banagl の [Bana]によると, intersection space のホモロジー (\(HI^{p}(X)\)) と intersection homology (\(I^pH(X)\)) の関係は, mirror symmetry の対応とうまく関係がつくようで興味深い。 またそこでは de Rham 流の \(HI^{p}(X;\R )\) の記述も得られている。

Banagl と Budur と Maxim は, [BBM] で string theory との関係に ついて述べている。

Banagl と Maxim の [BM12] によると, 特異点の deformation に関しては, intersection homology よりも良い性質を持っているようである。

代数的トポロジーの視点からは, このintersection space の構成を用いて, stratified pseudomanifold に対し, 一般 (コ) ホモロジー を applyす ることを考えるべきだろう。\(\R \)係数の singular cohomology が de Rham流の記述を持つのだから, \(K\)-theory などに対しても幾何学的な意味付けが得られそうである。

Banagl は, [Banb] では, flat fiber bundle の Serre spectral sequence が \(E_2\)-term で collapse するための条件を, intersection space を用いて考えている。

Intersection homology は, \(L^2\)-(co)homology と関係があることが知られているが, intersection space のコホモロジーについても, \(L^2\)-form と関係づけられるようである。Banagl と Hunsicker [BH] は, 特別な場合を示している。

Intersection homology の Poincaré duality は, perversity \(p\) に対する complementary perversity \(q\) を用いて \[ I^{p}H_i(X;\Q ) \cong I^{q}H^{\dim X-i}(X;\Q ) \] という形なので, 一般には intersection space \(I^{p}X\) 自体が Poincaré duality space になっているわけではない。ただ \(p\) が middle perversity の場合は, 可能性がある。 それについて考えたのが, Klimczak の [Kli] である。

References

[Bana]

Markus Banagl. Foliated Stratified Spaces and a De Rham Complex Describing Intersection Space Cohomology. arXiv: 1102.4781.

[Banb]

Markus Banagl. Isometric Group Actions and the Cohomology of Flat Fiber Bundles. arXiv: 1105.0811.

[Ban10]

Markus Banagl. Intersection spaces, spatial homology truncation, and string theory. Vol. 1997. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xvi+217. isbn: 978-3-642-12588-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12589-8.

[BBM]

Markus Banagl, Nero Budur, and Laurentiu Maxim. Intersection spaces, perverse sheaves and type IIB string theory. arXiv: 1212.2196.

[BH]

Markus Banagl and Eugenie Hunsicker. Hodge Theory for Intersection Space Cohomology. arXiv: 1502.03960.

[BM12]

Markus Banagl and Laurentiu Maxim. “Deformation of singularities and the homology of intersection spaces”. In: J. Topol. Anal. 4.4 (2012), pp. 413–448. arXiv: 1101.4883. url: http://dx.doi.org/10.1142/S1793525312500185.

[Kli]

Mathieu Klimczak. Poincaré duality for spaces with isolated singularities. arXiv: 1507.07407.