Mirror Symmetry

Mirror symmetry という現象があるらしい。Calabi-Yau 多様体という\(3\)次元の代数多様体とその mirror と呼ばれるものの間の関係らしいが, どうゆうわけか数理物理で発見 (予想) されたことらしい。Mirror symmetry で対応している多様体 の間には様々な関係がある。例えば, elliptic genus が等しい [GO08] など。

Mirror symmetry を理解するためには, とりあえず以下のことが必要である。

• conformal field theory
• Calabi-Yau 多様体

Mirror symmetry の解説としては、Kapustin と Orlov の [KO04] が分かりやすい。

それによると, mirror symmetry とは, 元々はある種の conformal field theory のなす集合における関係らしい。その conformal field theory が Calabi-Yau 多様体から得られることが多いので, Calabi-Yau 多様体の間の対応として定式化された。 より正確には, Witten の [Wit92] をみるとよい。それによると mirror symmetry conjecture とは, ある Calabi-Yau 多様体上の A-model という topological field theory とその mirror manifold 上の B-model という topological field theory の間の対応がある, ということらしい。

実際, toric variety については conformal field theory の間の同値と対応していることが, Frenkel と Losev の [FL07] で示されている。彼等は, その過程で A-model と B-model の中間に位置する I-model を考えることを提唱している。

Costello の [Cos07] の Introduction によると, その A-model を数学的にきちんと構成したのが Gromov-Witten invariant の理論らしい。

• Gromov-Witten invariant

Toric variety そのものでなくても, toric variety の subvariety になっている Calabi-Yau 多様体についても, 結構良いことが成り立つ。 Batyrev の [Bat94] では, toric variety の hypersurface になっている Calabi-Yau 多様体に対し, Batyrev と Borisov の [BB96] では, complete intersection になっているものに対し, 凸多面体の組み合せ論を用いて, その mirror になるべき Calabi-Yau 多様体が構成されている。 Batyrev と Nill の [BN08] も見るとよい。Mirror symmetry が組み合せ論的なデータで記述できるのは興味深い。

Mirror になっている pair の構成に関しては, Strominger と Yau と Zaslow [SYZ96] による予想がある。これについては, Mark Gross の解説 [Gro] が分かりやすい。

• SYZ 予想

Strominger と Yau と Zaslow の予想は special Lagrangian torus fibration についてのものであるが, その topological analogue, つまり special Lagrangian という条件を除いた場合を Gross が [Gro01] で考えている。

Gross は Siebert と [GS06] で, この二つの mirror pair の構成へのアプローチ, Batyrev と Borisov のものと Strominger と Yau と Zaslow のもの, を合わせるために, Calabi-Yau 多様体の toric degeneration という概念を導入した。 彼等自身による解説 [GS11] がある。 Real affine manifold やその polyhedral decomposition, そして tropical geometry などが使われていて面白い。

Borisov [Bor] は, vertex operator algebra との関係も調べている。

Postnikov は [Pos01] で complex flag manifold の Gromov-Witten invariant の対称性を調べている。

Costello のその論文とその続編 [Cos] での主題は, Kontsevich による \(A_{\infty }\)-category に関することである。

Kontsevich は, ICM 1994 で Fukaya のアイデア [Fuk97] に基づいて, mirror symmetry を多様体上の derived category の間の duality と解釈するというアイデアを発表した, らしい。Homological mirror symmetry conjecture と呼ばれている。解説としては, Ballard の [Bal08] がある。

• Fukaya category
• Calabi-Yau 多様体に対する Homological Mirror Symmetry Conjecture

Kontsevich のアイデアに忠実に従っているのが Polishchuk で, elliptic curve の場合に Kontsevich の予想を証明したようである。

そのアイデアを superstring theory で押しすすめ, D-brane の理論が “categorical” になってきている。 例えば, Lazaroiu の preprint [Laz03] にある解説を読むとよい。

Kontsevich や深谷のアイデアを理解するためには, まず以下のことが必要である。

• complex projective variety 上の coherent sheaf の derived category

具体的な空間の Fukaya category が分かれば, 理解の助けになることは当然であるが, あまり詳しいことは分っていないようである。 Abouzaid が [Abo08] で Riemann 面の Fukaya category の \(K\)-theory を調べている。

Abouzaid の [Abo09] の Introduction は Kontsevich の Homological Mirror Symmetry Conjecture の現況を知るのによい。それによると, Kontsevich は, Fano 多様体への予想の拡張も立てているらしい。その Abouzaid の論文は, toric variety の場合に tropical (algebraic) geometry を用いて調べているという点で興味深い。

もちろん, mirror symmetry を理解するためには, Calabi-Yau 多様体について知る必要がある。Calabi-Yau 多様体のホモロジーは [BK06] で調べられている。それによると, mirror symmetry で Betti 数だけでなく torsion part も入れ替わるらしい。

Mirror symmetry は braid 群とも関係があるらしい。 [Tho01] という論文がある。Bridgeland の stability condition に関する予想についての Ishii, Ueda, Uehara の [IUU10] でも homological mirror symmetry が用いられている。

非可換幾何への一般化を考えている人もいる。 Kajiura の [Kaj] などである。

\(7\)次元 \(G_2\)-manifold とそのある\(3\)次元 submanifold は Calabi-Yau 多様体の上の holomorphic curve と良く似ていると, Akbulut と Salur の [AS10] に書いてある。

References

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[Abo09]

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