Vertex Algebra と Vertex Operator Algebra

Vertex operator algebra の一つの起源は 数理物理であり, 初期の段階では, 定義がはっきりしなかった。Vertex algebra の正確な定義を与えたのは, Borcherds [Bor86], vertex operator algebra の定義を与えたのは, Igor Frenkel と Lepowsky と Meurman らしい。

Igor Frenkel と Lepowsky と Meurman の本 [FLM88] は, Introduction 以外の部分は, お世辞にも読み易いものではない。その後, vertex operator algebra は様々な面から研究が進み, かなり理解し易くなった。 より新しい文献で勉強する方がよい。まずは, Kac の booklet [Kac98] を読むのがよい, と思う。そして Edward Frenkel と Ben-Zvi の本 [FB01] を読めばよい。最初に Edward Frenkel の Bourbaki seminar での解説 [Fre02] を読んで概要をつかんでおくのもよい。 2人の Frenkel がかかわっているので, ややこしい。

Algebraic topologist の書いたものとしては, Andrew Baker の解説 [Bak98] がある。Frenkel-Lepowsky-Meurman 流の書き方であるが。 Operad あるは cooperad を用いた記述もあり, 代数的トポロジーの人間にはそちらの方が分りやすいかもしれない。例えば, Hortsch と Kriz と Pultr の [HKP10] は cooperad を用いた純粋に代数的なものである。

代数的にきちんと書こうという試みとしては, 他にも Rosellen の [Ros] がある。 Lie algebra や非可換環の教科書のような本を書きたかったらしい。Vertex algebra とその module の公理を見直したものとして, Robinson の [Rob10] がある。

• Kac の本による vertex algebra の定義
• Frenkel-Lepowsky-Meurman の本による vertex operator algebra
• operad による vertex operator algebra の定義 (Huang と Lepowsky の [HL94])
• cooperad を用いた vertex algebra の定義 (Hortsch, Kriz, Pultr の [HKP10])
• Lie algebra \(\mathfrak {g}\) に associate した vertex algebra \(\mathcal {W}(\mathfrak {g})\) (\(\mathfrak {g}\) の semi-infinite Weil complex と呼ばれる)

Frenkel-Lepowsky-Meurman の moonshine に関係した vertex operator algebra は, Griess algebra という可換環が元になっている。 より一般に可換環に対し vertex algebra を作る方法を考えたのが, Roitman の [Roi08] である。Roitman は, その前に [Roi02] で free vertex algebra について考えている。

Algebra があれば, その上の module がある。

• vertex algebra 上の module

Vertex (operator) algebra 上の module の tensor product, そして module の圏の braided monoidal structure などについても活発に研究されている。Huang の論文 ([Hua05b] など) を見るとよい。もちろん, 通常の環上の module の理論よりずっと複雑である。 Huang の [Hua05a] の Introduction をみると現況がよく分かる。

Huang と Lepowsky と Zhang の [HLZ06] は conformal vertex algebra 上の module に対する tensor product を考えたものである。

Edward Frenkel と Ben-Zvi の approach で twisted module を考察したのが, Edward Frenkel と Szczesny の [FS04] である。Twisted module の他に quasi-module という概念もある。その二つを比較したのが, Li の [Li07] である。

• twisted module
• quasi-module

通常の generator と relation による vertex algebra の定義は, punctured disk \(D^2\setminus \{0\} = \mathrm {Spec}\bbC ((z))\) 上のある vector bundle の section を用いてできる。より一般の Riemann 面や (\(\bbC \)上の) 代数曲線を用いたものに拡張しようというのは自然なアイデアである。 それを主題に書かれたのが, Edward Frenkel と Ben-Zvi の本 [FB01] であるが。

Vertex superalgebra などを含んだ概念として generalized vertex algebra というものがある。Bakalov と Kac の解説 [BK] がある。 他にも, 一般化や変種も色々考えられている。それについては, 以下のページにまとめた。

• generalizations and variations of vertex algebras

References

[Bak98]

Andrew Baker. “Vertex operators in algebraic topology”. In: The Monster and Lie algebras (Columbus, OH, 1996). Vol. 7. Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ. Berlin: de Gruyter, 1998, pp. 3–15.

[BK]

Bojko Bakalov and Victor G. Kac. Generalized Vertex Algebras. arXiv: math/0602072.

[Bor86]

Richard E. Borcherds. “Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 83.10 (1986), pp. 3068–3071. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.83.10.3068.

[FB01]

Edward Frenkel and David Ben-Zvi. Vertex algebras and algebraic curves. Vol. 88. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2001, p. xii 348. isbn: 0-8218-2894-0.

[FLM88]

Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman. Vertex operator algebras and the Monster. Vol. 134. Pure and Applied Mathematics. Boston, MA: Academic Press Inc., 1988, pp. liv+508. isbn: 0-12-267065-5.

[Fre02]

Edward Frenkel. “Vertex algebras and algebraic curves”. In: Astérisque 276 (2002), pp. 299–339. arXiv: math/0007054.

[FS04]

Edward Frenkel and Matthew Szczesny. “Twisted modules over vertex algebras on algebraic curves”. In: Adv. Math. 187.1 (2004), pp. 195–227. arXiv: math/0112211. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.07.019.

[HKP10]

Ruthi Hortsch, Igor Kriz, and Aleš Pultr. “A universal approach to vertex algebras”. In: J. Algebra 324.7 (2010), pp. 1731–1753. arXiv: 1006.0027. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.05.012.

[HL94]

Yi-Zhi Huang and James Lepowsky. “Operadic formulation of the notion of vertex operator algebra”. In: Mathematical aspects of conformal and topological field theories and quantum groups (South Hadley, MA, 1992). Vol. 175. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 131–148. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/175/01841.

[HLZ06]

Yi-Zhi Huang, James Lepowsky, and Lin Zhang. “A logarithmic generalization of tensor product theory for modules for a vertex operator algebra”. In: Internat. J. Math. 17.8 (2006), pp. 975–1012. arXiv: math/0311235. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X06003758.

[Hua05a]

Yi-Zhi Huang. “Differential equations and intertwining operators”. In: Commun. Contemp. Math. 7.3 (2005), pp. 375–400. arXiv: math/0206206. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0219199705001799.

[Hua05b]

Yi-Zhi Huang. “Vertex operator algebras, the Verlinde conjecture, and modular tensor categories”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102.15 (2005), 5352–5356 (electronic). arXiv: math/0412261. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0409901102.

[Kac98]

Victor Kac. Vertex algebras for beginners. Second. Vol. 10. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 1998, pp. vi+201. isbn: 0-8218-1396-X.

[Li07]

Haisheng Li. “Twisted modules and quasi-modules for vertex operator algebras”. In: Lie algebras, vertex operator algebras and their applications. Vol. 442. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 389–400. arXiv: math/0603143.

[Rob10]

Thomas J. Robinson. “On replacement axioms for the Jacobi identity for vertex algebras and their modules”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.10 (2010), pp. 1740–1758. arXiv: 0903.3216. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.12.018.

[Roi02]

Michael Roitman. “Combinatorics of free vertex algebras”. In: J. Algebra 255.2 (2002), pp. 297–323. arXiv: math/0103173. url: https://doi.org/10.1016/S0021-8693(02)00155-2.

[Roi08]

Michael Roitman. “On Griess algebras”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 4 (2008), Paper 057, 35. arXiv: math/0302021. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2008.057.

[Ros]

Markus Rosellen. A Course in Vertex Algebra. arXiv: math/0607270.