Generalizations and Variations of Vertex Algebras

Vertex algebra の一般化も色々考えられている。 まず Beilinson と Drinfeld の chiral algebra というものがある。長らく preprint として Ben-Zvi の web site で公開されていたが, 今では AMS から出版 [BD04] されている。

• chiral algebra
• factorization algebra
• oper

Edward Frenkel と Ben-Zvi の [FB04] では, chiral algebra の解説として Gaitsgory の [Gai99] が勧められている。

Edward Frenkel は, chiral algebra や oper やその他関係したことを [Fre07] にまとめている。主題は Langlands program とその conformal field theory からの approach であるが。

可換環上の vertex algebra は, Griess と Lam の [GL; GL14], Mason の [Mas18], Mason の [FM23] などで考えられている。 Mason は \(\Z \) 上の vertex algebra を vertex ring と呼んでいる。

• vertex ring
• algebraic vertex algebra

Griess と Lam は, 有限群を vertex algebra の automorphism group として実現することを考えている。

Bakalov と Kac の generalized vertex algebra に関する解説 [BK] によると, vertex algebra は, 本質的には\(2\)次元 conformal field theory における chiral algebra に他ならない, らしい。 Bakalov は, 高次元の conformal field theory に対応する vertex operator algebra の一般化を [Bak] で考えている。

Huang [Hua00] による intertwining operator algebra というのもある。Chen の [Che] を見るとよい。

• intertwining operator algebra

Beilinson と Drinfel\('\)d は chiral Poisson algebra という構造も定義しているが, Barakat と De Sole と Kac [BSK] の Poisson vertex algebra はその local 版らしい。まずは, De Sole と Kac と Wakimoto の [DKW10] の Introduction を読んでみるとよいと思う。

• Poisson vertex algebra
• chiral Poisson algebra

Beilinson と Drinfeld の理論は, Francis と Gaitsgory [FG12] により, より高次元の代数多様体上の理論に拡張されている。

代数多様体上の vertex algebra の sheaf を考えることもできる。Malikov と Schechtman と Vaintrob [MSV99; MS99] は smooth variety 上に chiral de Rham complex という vertex superalgebra の sheaf を導入した。

• chiral de Rham complex

Vertex algebroid については, Bressler の [Brea; Breb] という文献がある。Bressler は, それらを含む新しい version として [Bre07] を書いている。

• vertex algebroid

他にも, quantum vertex operator algebra や quantum vertex algebra [Bor01] などといった概念も考えられている。そのような quantum affine algebra などから作られる vertex algebra 様のものについて調べ始めた人 [Li05] もいる。

Lian と Zuckerman は, quantum operator algebra と vertex operator algebra のギャップを埋めるものを [LZ95] で考えている。 関連した概念として, Roitman が [Roi99] で様々な代数の conformal version を考えている。

Li [Li] は, quantum vertex algebra に関連した概念として, formal group law を用いた \(\phi \)-coordinated quasi module という概念を導入している。 その後, [Li11] で, formal group law \(F\) を用いた vertex \(F\)-algebra を導入している。

• vertex \(F\)-algebra

Algebra の双対概念として coalgebra があるが, Hubbard が vertex operator coalgebra [Hubb; Huba] や vertex coalgebra [Hubc] という概念を考えている。

• vertex operator coalgebra と vertex coalgebra

Lie algebra の一般化が色々考えられているので, それに対応する vertex algebra の一般化を考えるのも自然である。例えば, [LTW13] では, Leibniz algebra の類似が考えられている。

• vertex Leibniz algebra

References

[Bak]

Bojko Bakalov. Vertex (Lie) algebras in higher dimensions. arXiv: math-ph/0608054.

[BD04]

Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld. Chiral algebras. Vol. 51. American Mathematical Society Colloquium Publications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. vi 375. isbn: 0-8218-3528-9.

[BK]

Bojko Bakalov and Victor G. Kac. Generalized Vertex Algebras. arXiv: math/0602072.

[Bor01]

Richard E. Borcherds. “Quantum vertex algebras”. In: Taniguchi Conference on Mathematics Nara ’98. Vol. 31. Adv. Stud. Pure Math. Tokyo: Math. Soc. Japan, 2001, pp. 51–74. arXiv: math/9903038.

[Brea]

Paul Bressler. Vertex Algebroids I. arXiv: math/0202185.

[Breb]

Paul Bressler. Vertex Algebroids II. arXiv: math/0304115.

[Bre07]

Paul Bressler. “The first Pontryagin class”. In: Compos. Math. 143.5 (2007), pp. 1127–1163. arXiv: math/0509563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07002710.

[BSK]

Aliaa Barakat, Alberto De Sole, and Victor G. Kac. Poisson vertex algebras in the theory of Hamiltonian equations. arXiv: 0907.1275.

[Che]

Ling Chen. On Axiomatic Approaches to Intertwining Operator Algebras. arXiv: 1503.06428.

[DKW10]

Alberto De Sole, Victor G. Kac, and Minoru Wakimoto. “On classification of Poisson vertex algebras”. In: Transform. Groups 15.4 (2010), pp. 883–907. arXiv: 1004.5387. url: https://doi.org/10.1007/s00031-010-9110-9.

[FB04]

Edward Frenkel and David Ben-Zvi. Vertex algebras and algebraic curves. Second. Vol. 88. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, pp. xiv+400. isbn: 0-8218-3674-9.

[FG12]

John Francis and Dennis Gaitsgory. “Chiral Koszul duality”. In: Selecta Math. (N.S.) 18.1 (2012), pp. 27–87. arXiv: 1103.5803. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-011-0065-z.

[FM23]

Cameron Franc and Geoffrey Mason. “\(p\)-adic vertex operator algebras”. In: Res. Number Theory 9.2 (2023), Paper No. 27, 41. arXiv: 2207.07455. url: https://doi.org/10.1007/s40993-023-00433-1.

[Fre07]

Edward Frenkel. “Lectures on the Langlands program and conformal field theory”. In: Frontiers in number theory, physics, and geometry. II. Berlin: Springer, 2007, pp. 387–533. arXiv: hep-th/0512172. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-30308-4_11.

[Gai99]

Dennis Gaitsgory. “Notes on 2D conformal field theory and string theory”. In: Quantum fields and strings: a course for mathematicians, Vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 1017–1089. arXiv: math/9811061.

[GL]

Robert L. Griess Jr. and Ching Hung Lam. Applications of vertex algebra covering procedures to Chevalley groups and modular moonshine. arXiv: 1308.2270.

[GL14]

Robert L. Griess Jr. and Ching Hung Lam. “Groups of Lie type, vertex algebras, and modular moonshine”. In: Electron. Res. Announc. Math. Sci. 21 (2014), pp. 167–176. url: https://doi.org/10.3934/era.2014.21.167.

[Hua00]

Yi-Zhi Huang. “Generalized rationality and a “Jacobi identity” for intertwining operator algebras”. In: Selecta Math. (N.S.) 6.3 (2000), pp. 225–267. arXiv: q-alg/9704008. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00001389.

[Huba]

Keith Hubbard. Constructions of vertex operator coalgebras via vertex operator algebras. arXiv: math/0406035.

[Hubb]

Keith Hubbard. The notion of vertex operator coalgebra and a geometric interpretation. arXiv: math/0405461.

[Hubc]

Keith Hubbard. Vertex coalgebras, comodules, cocommutativity and coassociativity. arXiv: 0801.3260.

[Li]

Haisheng Li. Quantum vertex algebras and their phi-coordinated quasi modules. arXiv: 0906.2710.

[Li05]

Haisheng Li. “Nonlocal vertex algebras generated by formal vertex operators”. In: Selecta Math. (N.S.) 11.3-4 (2005), pp. 349–397. arXiv: math/0502244. url: https://doi.org/10.1007/s00029-006-0017-1.

[Li11]

Haisheng Li. “Vertex \(F\)-algebras and their \(\phi \)-coordinated modules”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.7 (2011), pp. 1645–1662. arXiv: 1006.4126. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.10.001.

[LTW13]

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[LZ95]

Bong H. Lian and Gregg J. Zuckerman. “Commutative quantum operator algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 100.1-3 (1995), pp. 117–139. arXiv: q-alg/9501014. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(95)00053-Y.

[Mas18]

Geoffrey Mason. “Vertex rings and their Pierce bundles”. In: Vertex algebras and geometry. Vol. 711. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2018] ©2018, pp. 45–104. arXiv: 1707.00328. url: https://doi.org/10.1090/conm/711/14303.

[MS99]

Fyodor Malikov and Vadim Schechtman. “Chiral de Rham complex. II”. In: Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications. Vol. 194. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 149–188.

[MSV99]

Fyodor Malikov, Vadim Schechtman, and Arkady Vaintrob. “Chiral de Rham complex”. In: Comm. Math. Phys. 204.2 (1999), pp. 439–473. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050653.

[Roi99]

Michael Roitman. “On free conformal and vertex algebras”. In: J. Algebra 217.2 (1999), pp. 496–527. arXiv: math/9809050. url: https://doi.org/10.1006/jabr.1998.7834.