Langlands Program

Robert Langlands による一連の予想をまとめたものを, Langlands プログラムという。ICM 2002 で Lafforgue は 関数体上の \(\GL _n\) に対する Langlands correspondence を証明したことにより, Fields Medal を授与された。Laumon によるその解説 [Lau02] は, Langlands correspondece がどういうものかを手っ取り早く理解するにはよい。

arXiv には Edward Frenkel による survey [Fre04] もある。 他には, この Frenkel の survey の参考文献で挙げてあるもの, [Art03] など, をみるとよい。Local Langlands correspondence については ICM 2002 での Michael Harris の [Har02] がある。

何と, Langlands program まで quantum field theory と関係があることが分かってきた。Edward Frenkel による解説 [Fre07] があるが, 130ページ近くもあるので, まずは同じ Frenkel による Bourbaki Seminar の [Fre10] を読んでみる方がよいと思う。この Bourbaki Seminar のものは, Weil 予想と比較してありイメージがつかみやすい。

やはり, このような大きな流れを作ったのは Witten [KW07; GW08] のようであるが, その経緯についても, Frenkel の解説に書いてある。もともとは, 1970年代の Goddard と Nuyts と Olive の仕事 [GNO77] そしてMontonen と Olive の [MO77] に Langlands dual group が現われたのが起源のようである。そしてそれに対する説明が Kapustin と Witten の [KW07] である。 それによると, 2004年の Institute for Advanced Study の conference での Ben-Zvi の講演が鍵になったようである。

Ngo は Fundamental Lemma を証明した [Ngô10] ことで, ICM 2010 で Fields Medal を授与されたが, その主要な道具 Hitchin fibration も数理物理に起源を持つものである。Fundamental Lemma については, Ben-Zvi による解説のビデオがある。

• Langlands プログラムとは?
• function field の場合
• geometric Langlands program

Number field の場合の Langlands correspondence を考えるためには, より正確には motivic Galois group を用いる必要がある, ようである。

• motivic Galois group

この Quanta Magazine の記事で紹介されているように, Venkatesh は Ben-Zvi と Sakellaridis と共に period と \(L\)-function を用いて Langlands duality を考えることを提案している。 彼等の 451ページもある preprint [BSV] の最初に図があるが, Langlands program で対応する automorphiic form と Galois representation が period と \(L\)-function により繋がる, ということのようである。 その際に, 群の作用する代数多様体を用いているので, 彼等は relative Langlands duality と呼んでいる。

• relative Langlands duality

References

[Art03]

James Arthur. “The principle of functoriality”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40.1 (2003), 39–53 (electronic).

[BSV]

David Ben-Zvi, Yiannis Sakellaridis, and Akshay Venkatesh. Relative Langlands duailty. url: https://www.math.ias.edu/~akshay/research/BZSVpaperV1.pdf.

[Fre04]

Edward Frenkel. “Recent advances in the Langlands program”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 41.2 (2004), 151–184 (electronic). arXiv: math/0303074. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-04-01001-8.

[Fre07]

Edward Frenkel. “Lectures on the Langlands program and conformal field theory”. In: Frontiers in number theory, physics, and geometry. II. Berlin: Springer, 2007, pp. 387–533. arXiv: hep-th/0512172. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-30308-4_11.

[Fre10]

Edward Frenkel. “Gauge theory and Langlands duality”. In: Astérisque 332 (2010). Séminaire Bourbaki. Volume 2008/2009. Exposés 997–1011, Exp. No. 1010, ix–x, 369–403. arXiv: 0906.2747.

[GNO77]

P. Goddard, J. Nuyts, and D. Olive. “Gauge theories and magnetic charge”. In: Nuclear Phys. B 125.1 (1977), pp. 1–28.

[GW08]

Sergei Gukov and Edward Witten. “Gauge theory, ramification, and the geometric Langlands program”. In: Current developments in mathematics, 2006. Int. Press, Somerville, MA, 2008, pp. 35–180. arXiv: hep-th/0612073.

[Har02]

Michael Harris. “On the local Langlands correspondence”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 583–597. arXiv: math/0304324.

[KW07]

Anton Kapustin and Edward Witten. “Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program”. In: Commun. Number Theory Phys. 1.1 (2007), pp. 1–236. arXiv: hep-th/0604151.

[Lau02]

Gérard Laumon. “The work of Laurent Lafforgue”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 91–97. arXiv: math/ 0212417.

[MO77]

C. Montonen and D. Olive. “Magnetic monopoles as gauge particles?” In: Physics Letters B 72.1 (Dec. 1977), pp. 117–120. url: http://dx.doi.org/10.1016/0370-2693(77)90076-4.

[Ngô10]

Bao Châu Ngô. “Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 111 (2010), pp. 1–169. arXiv: 0801.0446. url: https://doi.org/10.1007/s10240-010-0026-7.