Langlands プログラムとは?

Laumon [Lau02] と Frenkel [Fre04] の解説によると, Langlands correspondence では, global field \(F\) に対して定義される, 以下の二つのものの関係を考える。

• Galois群 \(\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)\)
• \(F\) 上の reductive algebraic group \(G\) に対し, Hilbert 空間 \(L^2(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F))\) を考え, それを全ての reductive group に関し集めたもの。ただし \(\mathbb{A}_F\) は \(F\) の adèle の成す環である。

Langlands は, これらの間の関係を調べるために, Langlands dual という構成を考えた。

• reductive group \(G\) の Langlands dual

量子群の Langlands dual を考えている人もいる。 Gaitsgory [Gai08] など。そのアイデアは, Lurie に依るものらしいが。

\(G=\GL _1\) のときの Langlands correspondence は, Abelian class field theory そのものであり, \(G=\GL _n\) はその高次元化, 一般の \(G\) に対するLanglands correspondence は類体論の非可換化とみなすことができるようである。

Langlands correspondence が注目されているのは, それが証明されると数論の有名な予想が証明できるからである。 Laumon によると, 例えば, 以下のものがある:

• Fermat の最終定理
• \(L\) 関数に関する Artin 予想
• Ramanujan-Petersson 予想

References

[Fre04]

Edward Frenkel. “Recent advances in the Langlands program”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 41.2 (2004), 151–184 (electronic). arXiv: math/0303074. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-04-01001-8.

[Gai08]

D. Gaitsgory. “Twisted Whittaker model and factorizable sheaves”. In: Selecta Math. (N.S.) 13.4 (2008), pp. 617–659. arXiv: 0705.4571. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-008-0053-0.

[Lau02]

Gérard Laumon. “The work of Laurent Lafforgue”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 91–97. arXiv: math/0212417.