Langlandsプログラム: function fieldの場合

関数体の場合の Langlands プログラムでは, まず Drinfeld の結果 [Dri83], そして Lafforgue の結果 [Laf97; Laf98; Laf02] がある。

また関数体の場合は, geometric Langlands correspondence というものを考えることができる。Drinfeld の \(\GL _2\) の場合の証明に基づいて, Laumon が [Lau87; Lau] で予想を与えている。

それに対する解答が Frenkel と Gaitsgory と Vilonen の [FGV02] である。

Frenkel と Gaitsgory の [FG06] は affine Kac-Moody Lie algebra の表現の圏を local Langlands correspondence の geometric analogue を用いて考えている。Ginzburg の [Gin] やその一般化の Mirkovic と Vilonen の [MV07] を更に追及したものと言えるだろうか。

References

[Dri83]

V. G. Drinfel\('\)d. “Two-dimensional \(l\)-adic representations of the fundamental group of a curve over a finite field and automorphic forms on \(\GL (2)\)”. In: Amer. J. Math. 105.1 (1983), pp. 85–114. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374382.

[FG06]

Edward Frenkel and Dennis Gaitsgory. “Local geometric Langlands correspondence and affine Kac-Moody algebras”. In: Algebraic geometry and number theory. Vol. 253. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2006, pp. 69–260. arXiv: math/0508382. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4532-8_3.

[FGV02]

E. Frenkel, D. Gaitsgory, and K. Vilonen. “On the geometric Langlands conjecture”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.2 (2002), pp. 367–417. arXiv: math/0012255. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00388-5.

[Gin]

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[Laf02]

Laurent Lafforgue. “Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands”. In: Invent. Math. 147.1 (2002), pp. 1–241. url: https://doi.org/10.1007/s002220100174.

[Laf97]

Laurent Lafforgue. “Chtoucas de Drinfeld et conjecture de Ramanujan-Petersson”. In: Astérisque 243 (1997), pp. ii+329.

[Laf98]

Laurent Lafforgue. “Une compactification des champs classifiant les chtoucas de Drinfeld”. In: J. Amer. Math. Soc. 11.4 (1998), pp. 1001–1036. url: https://doi.org/10.1090/S0894-0347-98-00272-0.

[Lau]

Gerard Laumon. Faisceaux automorphes pour \(\GL (n)\): la premiere construction de Drinfeld. arXiv: alg-geom/9511004.

[Lau87]

Gérard Laumon. “Correspondance de Langlands géométrique pour les corps de fonctions”. In: Duke Math. J. 54.2 (1987), pp. 309–359. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-87-05418-4.

[MV07]

I. Mirković and K. Vilonen. “Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings”. In: Ann. of Math. (2) 166.1 (2007), pp. 95–143. arXiv: math/0401222. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.95.