Intersection (co)homology

Intersection (co)homology は, Goresky と MacPherson [GM80] により 単体的複体の (co)homology を stratified space に一般化することにより導入された。 Klimczak [Kli] によると, その動機は [MA71] の中で Sullivan により提案された問題らしい。

Intersection (co)homology の解説としては, まず Kirwan の本 [Kir88] がある。最近, その改訂版 [KW06] が出た。MacPherson による未出版の “Intersection Homology and Perverse Sheaves” という解説もある。 Greg Friedman の topology notes のページから download できる。

Kleiman の [Kle07] で概略をつかんでから Kirwan の本を読んでみるのもよいかもしれない。

位相空間や多様体の (co)homology theory に様々なアプローチがあるように, intersection (co)homology に対しても, 色々な定義 (構成) がある。

• intersection (co)homology の定義や構成

Poincaré duality が成り立つことが, intersection homology の最も重要な性質の一つであり, Goresky と MacPherson の動機でもあった。

• intersection homology の Poincaré duality

Sheaf-theoretic な intersection homology と simplicial な intersection homology での Poincaré duality の比較については, Friedman と McClure の [FM21] がある。

Cappell と Maxim と Shaneson は, [CMS08a] で complex algebraic variety の intersection homology Euler characteristic が写像によりどう変るかを調べている。彼等は, [CMS08b] で, genera や characteristic class についても調べている。 「特異点を持った多様体」に対して, どれだけ特性類が拡張できるか, ということについての survey としては Schuermann と Yokura の [SY07] がある。

Poncaré duality の類似が成り立つことから, intersection form を定義して signature の一般化を定義することもできる。Friedman と Hunsicker の [FH13] では perverse signature と呼ばれている。

• perverse signature

応用は多岐に亘るが, 例えば次のようなものがある。

• hypersurface complement の Alexander module [Max06]
• \(S^1\) 作用を持つ空間 \(X\) に対し, \(X/S^1\) の intersection cohomology と, その Euler class から \(X\) を決定する。[PS07]
• Foliation の basic cohomology の intersection 版とその応用 [Sar94; RSW08; RSW09; SW16]

位相空間の圏の上の (co)homology theory について成り立つことが, intersection (co)homology に対してどれぐらい成り立つか, というのは, 自然な疑問である。

• intersection (co)homology での類似

Intersection homology は, 最初 Poincaré duality を特異点を持った多様体に拡張するために導入されたものであるが, 逆に intersection homology に対し Poincaré duality が成り立つ空間は, どんな空間か, という研究もある。Siegel [Sie83] により Witt space が定義されたのが最初だろう。

• Witt space と関連した話題

Witt space は intersection homology が定義される pseudomanifold として自然な class であるが, Witt space ではない空間に対しても intersection homology や \(L^2\) de Rham cohomology を拡張しようという試みがある。 Albin, Banagl, Leichtnam, Mazzeo, Piazza の [Alb+15] など。

一般化や変種も様々なものが考えられている。 まず, 群の作用を持つ場合がある。

• equivariant intersection (co)homology

他には, Fine [Fina; Finb] が stratified simplex を用いた local-global intersection homology というものを定義している。

• local-global intersection homology

\(K\)-theory の intersection 版としては, scheme の algebraic \(K\)-theory の枠組みでの試みが登場した。 Padurariu の [Padc; Padb; Pada] など。

• intersection \(K\)-theory

Computational topology の視点から, intersection homology での persistence を考えている人もいる。Bendich と Harer [BH11] である。

References

[Alb+15]

Pierre Albin, Markus Banagl, Eric Leichtnam, Rafe Mazzeo, and Paolo Piazza. “Refined intersection homology on non-Witt spaces”. In: J. Topol. Anal. 7.1 (2015), pp. 105–133. arXiv: 1308.3725. url: https://doi.org/10.1142/S1793525315500065.

[BH11]

Paul Bendich and John Harer. “Persistent intersection homology”. In: Found. Comput. Math. 11.3 (2011), pp. 305–336. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10208-010-9081-1.

[CMS08a]

Sylvain E. Cappell, Laurentiu G. Maxim, and Julius L. Shaneson. “Euler characteristics of algebraic varieties”. In: Comm. Pure Appl. Math. 61.3 (2008), pp. 409–421. arXiv: math / 0606654. url: http://dx.doi.org/10.1002/cpa.20201.

[CMS08b]

Sylvain E. Cappell, Laurentiu G. Maxim, and Julius L. Shaneson. “Hodge genera of algebraic varieties. I”. In: Comm. Pure Appl. Math. 61.3 (2008), pp. 422–449. arXiv: math / 0606655. url: http://dx.doi.org/10.1002/cpa.20202.

[FH13]

Greg Friedman and Eugénie Hunsicker. “Additivity and non-additivity for perverse signatures”. In: J. Reine Angew. Math. 676 (2013), pp. 51–95. arXiv: 0911. 3915. url: https://doi.org/10.1515/crelle.2012.005.

[Fina]

Jonathan Fine. Local-global intersection homology. arXiv: alg- geom/9709011.

[Finb]

Jonathan Fine. Stratified simplices and intersection homology. arXiv: math/9807128.

[FM21]

Greg Friedman and James E. McClure. “Intersection homology duality and pairings: singular, PL and sheaf-theoretic”. In: Algebr. Geom. Topol. 21.7 (2021), pp. 3221–3301. arXiv: 1812.10585. url: https://doi.org/10.2140/agt.2021.21.3221.

[GM80]

Mark Goresky and Robert MacPherson. “Intersection homology theory”. In: Topology 19.2 (1980), pp. 135–162. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90003-8.

[Kir88]

Frances Kirwan. An introduction to intersection homology theory. Vol. 187. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1988, p. viii 169. isbn: 0-582-02879-5.

[Kle07]

Steven L. Kleiman. “The development of intersection homology theory”. In: Pure Appl. Math. Q. 3.1, Special Issue: In honor of Robert D. MacPherson. Part 3 (2007), pp. 225–282. arXiv: math/ 0701462. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2007.v3.n1.a8.

[Kli]

Mathieu Klimczak. Poincaré duality for spaces with isolated singularities. arXiv: 1507.07407.

[KW06]

Frances Kirwan and Jonathan Woolf. An introduction to intersection homology theory. Second. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006, p. xiv 229. isbn: 978-1-58488-184-1; 1-58488-184-4.

[MA71]

Manifolds—Amsterdam 1970. Vol. 1970. Proceedings of the Nuffic Summer School on Manifolds, Amsterdam, August 17-29. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971, pp. iv+231.

[Max06]

Laurentiu Maxim. “Intersection homology and Alexander modules of hypersurface complements”. In: Comment. Math. Helv. 81.1 (2006), pp. 123–155. arXiv: math/0409412. url: https://doi.org/10.4171/CMH/46.

[Pada]

Tudor Padurariu. Categorical and \(K\)-theoretic Hall algebras for quivers with potential. arXiv: 2107.13642.

[Padb]

Tudor Padurariu. Intersection \(K\)-theory. arXiv: 2103.06223.

[Padc]

Tudor Padurariu. Noncommutative resolutions and intersection cohomology for quotient singularities. arXiv: 2103.06215.

[PS07]

Gabriel Padilla and Martintxo Saralegi-Aranguren. “Intersection cohomology of the circle actions”. In: Topology Appl. 154.15 (2007), pp. 2764–2770. arXiv: math / 0403100. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2007.06.001.

[RSW08]

José Ignacio Royo Prieto, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Robert Wolak. “Tautness for Riemannian foliations on non-compact manifolds”. In: Manuscripta Math. 126.2 (2008), pp. 177–200. arXiv: math/ 0505675. url: https://doi.org/10.1007/s00229-008-0172-0.

[RSW09]

J. I. Royo Prieto, M. Saralegi-Aranguren, and R. Wolak. “Cohomological tautness for Riemannian foliations”. In: Russ. J. Math. Phys. 16.3 (2009), pp. 450–466. arXiv: 0805.4714. url: https://doi.org/10.1134/S1061920809030133.

[Sar94]

Martin Saralegi. “Homological properties of stratified spaces”. In: Illinois J. Math. 38.1 (1994), pp. 47–70. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255986886.

[Sie83]

P. H. Siegel. “Witt spaces: a geometric cycle theory for \(K\mathrm {O}\)-homology at odd primes”. In: Amer. J. Math. 105.5 (1983), pp. 1067–1105. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374334.

[SW16]

Martintxo Saralegi-Aranguren and Robert Wolak. “Poincaré duality of the basic intersection cohomology of a Killing foliation”. In: Monatsh. Math. 180.1 (2016), pp. 145–166. arXiv: 1401.5816. url: https://doi.org/10.1007/s00605-016-0882-4.

[SY07]

Jörg Schürmann and Shoji Yokura. “A survey of characteristic classes of singular spaces”. In: Singularity theory. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, pp. 865–952. arXiv: math/0511175. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812707499_0037.