Equivariant Intersection (Co)homology

Intersection (co)homology のequivariant version を考えることもできる。

所謂, Borel (co)homology として定義するのが普通のようである。例えば, Goresky と Kottwitz と MacPherson の [GKM98] など。\(EG\) には stratification が入っていないが, これは \(EG\) のモデルとして, 無限次元の 滑らかな多様体がとれることが多いから, 不自然な条件ではない。

• Equivariant intersection homology \(I_{\bar{p}}H_*^G(X)\) と cohomology \(I_{\bar{p}}H^*_G(X)\) の定義
• \(I_{\bar{p}}H^*_G(X)\) が \(H^*(BG)\) 上の module であること
• Serre type の スペクトル系列 \[ E_2^{s,t} \cong H^t(BG;I_{\bar{p}}H^t(X)) \Longrightarrow I_{\bar{p}}H^{s+t}_G(X) \] がある。
• \(X\) が complete algebraic variety over \(\bbC \) で, \(G\) が \(X\) に作用する linear algebraic group ならば, \(I_{\bar{p}}H^*_G(X)\) は \(H^*(BG)\)-module として free (Weber の [Web03])

実際に計算されているのは, toric variety やそれに類似したものが多い。Braden と Proudfoot は, [BP09] で hypertoric variety の equivariant intersection cohomology ring を調べている。

References

[BP09]

Tom Braden and Nicholas Proudfoot. “The hypertoric intersection cohomology ring”. In: Invent. Math. 177.2 (2009), pp. 337–379. arXiv: 0802.0641. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-009-0181-y.

[GKM98]

Mark Goresky, Robert Kottwitz, and Robert MacPherson. “Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem”. In: Invent. Math. 131.1 (1998), pp. 25–83. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050197.

[Web03]

Andrzej Weber. “Formality of equivariant intersection cohomology of algebraic varieties”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 131.9 (2003), 2633–2638 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-03-07138-7.