Definitions and Constructions of Intersection (Co)homology

最初の Goresky と MacPherson による intersection homology の定義 [GM80] は, 単体的複体の homology の類似だったが, その後, cohomology については perverse sheaf を用いた定義が発見 [GM83] され, 代数幾何学や 表現論などに応用されている。

“Perverse” という言葉がどうして選ばれたかについて, MathOverflow のこの質問 で聞かれているが, それに対し Goresky が答えている。

• perverse sheaf

この sheaf による intersection cohomology の定義については, stratified space 上の constructible sheaf の derived category の \(t\)-structure としての解釈が, Beiinson と Bernstein と Deligne [BBD82] により得られている。 Deligne はそれを scheme 上の coherent sheaf に一般化することを考えていたようであるが, それは未出版のようである。 それを書いたのが Arinkin と Bezrukavnikov の [AB10] である。Vitoria [Vit14] は, それを torsion theory で書き直せることを示しているが, それにより, 非可換な世界へも適用できるようである。

代数的トポロジーで, 単体的複体のホモロジーが特異ホモロジーで置き換わったように, 単体分割を用いた intersection homology に対し特異 intersection homology を定義しようという試みもある。 King の試み [Kin85] が最初であり, その後 Gajer [Gaj96] により simplicial set を用いて定義された。更に, King の定義を 局所係数でも使えるように改良した Friedman の定義 [Fri07] もある。この Friedman の定義では perversity に関する条件も不要になっている。一般の perversity に対する intersection homology の拡張としては, Saralegi-Aranguren のもの [Sar05] もある。

Friedman は, その一般の perversity に対する intersection homology に基づいた singular intersection homology について書いた本 [Fri20] を出している。 トポロジーの人は, まずこの本を読んでみるのがよいと思う。

Hovey は [Hov09] で intersection homology の categorical foundation として何が適当かを考えている。それによると, intersection homology は, perversity の成す poset から module のcategory への functor と解釈すべきのようである。Hovey は, そのような functor の成す Abelian category を調べている。それは, Friedman [Fri09] によって使われている。

Toric variety に対しては, 付随する rational polytope による記述がある。 それを, rational とは限らない多面体に拡張したものとして, Karu の [Kar04] がある。

• intersection cohomology of convex polytopes

有理ホモトピー論の視点から考えているのは, Chataur と Saralegi-Arangurenと Tanré [CST18a] である。 その目的は, Sullivan の minimal model を stratified space に一般化することだったようである。 そのために, filtered \(\Delta \)-set (semisimplicial set) を使って, blown-up intersection cohomology という構成を導入している。

• blown-up intersection cohomology

彼等は, [CST18c] で, その性質を調べている。 Chataur らは, [CST18b] で 彼等の blown-up intersection cohomology での Poincaré duality を証明している。

位相空間のホモロジーの公理化の類似も考えられている。

• Mayer-Vietoris sequecne
• 切除同型
• Gajer による intersection homology の公理 [Gaj96; Gaj98]
• Gajer の intersection homology の公理をみたす homology theory の比較定理

可微分多様体の場合は, 微分形式を用いた de Rham cohomology と singular cohomology との間の同型があるが, intersection cohomology についても類似のものがある。ただし微分形式として \(L^p\)-form (\(1<p\le \infty \)) を用いた de Rham cohomology の変種を用いる。 これは Cheeger [Che79; Che80] によるものである。 詳しくは, Valette の [Val12] を見るとよい。 他にも, Goresky と MacPherson による通常の微分形式を用いたものもあるらしい。Saralegi [Sar94] によると, Brylinski の 1986年の preprint “Equivariant intersection cohomology” に書かれているらしい。 それを改良したのが, この Saralegi の論文である。

• intersection cohomology に対する de Rham の定理の類似

References

[AB10]

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[Che79]

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[CST18b]

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