Perverse Sheaves

Goresky と MacPherson は, intersection cohomology を sheaf (の hyper)cohomology として記述するために, perverse sheaf という概念を導入した。

Kirwan の本 [KW06] のような intersectoin cohomology の解説にも, もちろん書かれているが, とりあえず de Cataldo と Migliorini の解説 [CM09] を読んでみるのもいいかもしれない。 Rietsch の [Rie04] もある。 Aubert の解説 [Aub] は, 著者の website から download できる。 最近, Goresky による lecture note [Gor] も公開された。

Perverse sheaf は, それ自体重要な情報を持っている。例えば Beilinson と Bernstein の有名な結果 [BB81] は, flag variety \(G/P\) 上の perverse sheaf の圏と \(\mathfrak {g}\) の或る種の表現の成す圏の同値を与える。

Braden は [Bra02]で, Grassmann 多様体上の Schubert stratification の場合の perverse sheaf の圏を quiver を用いて表示することに成功している。Kapranov と Schechtman [KS16] によると, perverse sheaf の成す圏のこの手の記述としては, 他には normal crossing の場合 [GGM85] と正方行列の成す空間上の rank filtration の場合 [BG99] ぐらいのようである。 Kapranov と Schechtman は complexified hyperplane arrangement の場合を考えている。Reflection arrangement の場合の reflection group の作用も込めたものは, Weissman [Wei19] により考えられている。

より古くは, Vybornov [Vyb97; Vyb99; Vyb98; Vyb] により, simplicial complex や finite regular cell complex の場合が考えられている。 Vybornov は, [Vyb07] で, より一般の stratified space の場合を考えている。

Langlands duality は, loop Grassmannian 上の perverse sheaf の成す tensor category によりみることもできるらしい。 [Gin; MV07] など。

Kashiwara らは, [Kas+06] で perverse sheaf の microlocalization を構成している。

Kapranov と Schechtman は, [KS] で perverse schober という perverse sheaf の categorification ともいうべき概念を導入している。 ベクトル空間を triangulated category に変えたものなので, stalk 毎に categorification している, という感じである。

• perverse schober

References

[Aub]

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[BB81]

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[BG99]

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[Bra02]

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[GGM85]

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[Vyb99]

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[Wei19]

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