代数解析

代数解析は 解析なのだろうか? Kashiwara と Schapira の本 [KS94] のタイトルにもあるように, 多様体上の 層とそのコホモロジーの言葉で現わせるものを扱っているわけで, 微分幾何の一種のようにも思える。

代数解析の主要な道具の一つは \(\mathcal {D}\)-module である。

• \(\mathcal {D}\)-module

Riemann-Hilbert correspondence は, Kashiwara [Kas84] による regular holonomic cohomology を持つ \(\cD \)-module の derived category と constructible cohomology を持つ \(\bbC \)-vector space の sheaf の derived category の同値であるが, これについて Grothendieck が「収穫と蒔いた」 [Gro93] の中で色々文句を言っている。 しかし, この Schapira の記事によると, その後 Schapira と Houzel が誤解を指摘し, Grothendieck も間違いであったことを認めたようである。Grothendieck による correction も Grothendieck-circle から download できる。

• Riemann-Hilbert correspondence

重要な概念として micorlocalization がある。

• 可微分実多様体の部分多様体に沿った sheaf の microlocalization

Kashiwara らの [Kas+06] の Introduction には, microlocalization という概念の簡単な歴史がまとめてある。その論文自体は, perverse sheaf の microlocalization に関するものである。

Kashiwara と Schapira は [KS18; KS21] で, persistent homology に microlocal sheaf theory を使うことを考えている。 このような所に使えることに気付くのは, さすがである。

References

[Gro93]

A. Grothendieck. 収穫と蒔いた種と(原題: Recoltes et Semailles – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien –). 京都: 現代数学社, 1989, 1990, 1993.

[Kas+06]

M. Kashiwara, P. Schapira, F. Ivorra, and I. Waschkies. “Microlocalization of ind-sheaves”. In: Studies in Lie theory. Vol. 243. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2006, pp. 171–221. arXiv: math/0407371. url: http://dx.doi.org/10.1007/0-8176-4478-4_9.

[Kas84]

Masaki Kashiwara. “The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20.2 (1984), pp. 319–365. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195181610.

[KS18]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Persistent homology and microlocal sheaf theory”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 83–113. arXiv: 1705.00955. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0019-z.

[KS21]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Piecewise linear sheaves”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 15 (2021), pp. 11565–11584. arXiv: 1805.00349. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnz145.

[KS94]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds. Vol. 292. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. x+512. isbn: 3-540-51861-4.