代数解析学

代数解析学は 解析なのだろうか? Kashiwara と Schapira の本 [KS94] のタイトルにもあるように, 多様体上の 層とそのコホモロジーの言葉で現わせるものを扱っているわけで, 微分幾何学の一種のようにも思える。

代数解析学の主要な道具の一つは \(\mathcal {D}\)-module である。

• \(\mathcal {D}\)-module

\(\cD \)-module を用いると, 古典的な Riemann-Hilbert correspondence を derived category の同値に拡張できる。 これは, Kashiwara [Kas84] による。

• Riemann-Hilbert correspondence

重要な概念として microlocalization がある。

• 可微分実多様体の部分多様体に沿った sheaf の microlocalization

Kashiwara らの [Kas+06] の Introduction には, microlocalization という概念の簡単な歴史がまとめてある。その論文自体は, perverse sheaf の microlocalization に関するものである。

Kashiwara と Schapira は [KS18; KS21] で, persistent homology に microlocal sheaf theory を使うことを考えている。 このような所に使えることに気付くのは, さすがである。

• microlocal sheaf theory

Morse theory との関連では, Schapira と Tose の [ST92] がある。 そこでは Witten の [Wit82], Helffer と Sjöstrand の [HS85; HS88], Henniart の [Hen85] が挙げられている。

Discrete Morse theoryとの関係では, Brown と Draganov の [2209.14493] がある。

References

[Hen85]

Guy Henniart. “Les inégalités de Morse (d’après E. Witten)”. In: 121-122. Seminar Bourbaki, Vol. 1983/84. 1985, pp. 43–61.

[HS85]

B. Helffer and J. Sjöstrand. “Puits multiples en mécanique semi-classique. IV. Étude du complexe de Witten”. In: Comm. Partial Differential Equations 10.3 (1985), pp. 245–340. url: https://doi.org/10.1080/03605308508820379.

[HS88]

B. Helffer and J. Sjöstrand. “A proof of the Bott inequalities”. In: Algebraic analysis, Vol. I. Academic Press, Boston, MA, 1988, pp. 171–183. isbn: 0-12-400465-2.

[Kas+06]

M. Kashiwara, P. Schapira, F. Ivorra, and I. Waschkies. “Microlocalization of ind-sheaves”. In: Studies in Lie theory. Vol. 243. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2006, pp. 171–221. arXiv: math/0407371. url: http://dx.doi.org/10.1007/0-8176-4478-4_9.

[Kas84]

Masaki Kashiwara. “The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20.2 (1984), pp. 319–365. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195181610.

[KS18]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Persistent homology and microlocal sheaf theory”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 83–113. arXiv: 1705.00955. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0019-z.

[KS21]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Piecewise linear sheaves”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 15 (2021), pp. 11565–11584. arXiv: 1805.00349. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnz145.

[KS94]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds. Vol. 292. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. x+512. isbn: 3-540-51861-4.

[ST92]

P. Schapira and N. Tose. “Morse inequalities for \(\R \)-constructible sheaves”. In: Adv. Math. 93.1 (1992), pp. 1–8. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(92)90022-D.

[Wit82]

Edward Witten. “Supersymmetry and Morse theory”. In: J. Differential Geom. 17.4 (1982), 661–692 (1983). url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437492.