D-module

\(\mathcal{D}\)-module については, Borel 達の [Bor+87] がある。 Web から入手できるものとしては, Schneiders の解説もある。

\(\mathcal{D}\), とは linear differential operator の成す層であり, 代数解析を勉強しようと思ったら, まず層と代数的な微分作用素のことを知っておくべきだろう。

• 可換環 \(A\) 上の微分作用素の成す環 \(D(A)\) とその filtration
• 多項式環の微分作用素の成す環は, Weyl algebra, つまり \(k[x_1,\ldots ,x_n]\) 上 \(\frac{\partial }{\partial x_1},\ldots , \frac{\partial }{\partial x_n}\) で生成された非可換環
• 代数多様体上の微分作用素の成す環

微分作用素の成す環については, Berest と Wilson の [BW04] という解説がある。

\(\mathcal{D}\)-module は, intersection cohomology とも関係ある。Intersection cohomology の定義に現われる perverse sheaf は, 本質的には regular holomorphic \(\mathcal{D}\)-module のことである。Cotangent bundle 上には, microdifferential operator の成す層 \(\mathcal{E}\) があるが, regular holomorphic \(\mathcal{E}\)-module に対応するものとして, microlocal perverse sheaf というものがある。

• perverse sheaf の圏 \(P(X)\) は Abelian であり, 開集合 \(U\subset X\) に対し \(P(U)\) を対応させると stack になる。
• microlocal perverse sheaf の圏は Abelian であり stack になる。

Gel\('\)fand と MacPherson と Vilonen の [GMV] は, 通常 “microlocal derived category” の subcategory として構成される microlocal perverse sheaf の圏を, 別の Abelian category であり stack にもなっているものの subcategory とみなせることを言っている。

\(\mathcal{D}\)-module は, 表現論でも現われる。

単純代数群 \(G\) とその Borel subgroup \(B\) について, \(G/B\) 上のある種の \(\mathcal{D}\)-module の圏と, ある種の \(\mathfrak{g}\)-module の圏が同値であるというのが Beilinson と Bernstein [BB81], そして Brylinski と Kashiwara [BK81] の有名な結果である。その affine Lie環での類似を考えたのが, Edward Frenkel と Gaitsgory の [FG09] である。

References

[BB81]

Alexandre Beı̆linson and Joseph Bernstein. “Localisation de \(g\)-modules”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 292.1 (1981), pp. 15–18.

[BK81]

J.-L. Brylinski and M. Kashiwara. “Kazhdan-Lusztig conjecture and holonomic systems”. In: Invent. Math. 64.3 (1981), pp. 387–410. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389272.

[Bor+87]

A. Borel et al. Algebraic \(D\)-modules. Vol. 2. Perspectives in Mathematics. Boston, MA: Academic Press Inc., 1987, pp. xii+355. isbn: 0-12-117740-8.

[BW04]

Yuri Berest and George Wilson. “Differential isomorphism and equivalence of algebraic varieties”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, pp. 98–126. arXiv: math/0304320. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511526398.007.

[FG09]

Edward Frenkel and Dennis Gaitsgory. “Localization of \(\mathfrak{g}\)-modules on the affine Grassmannian”. In: Ann. of Math. (2) 170.3 (2009), pp. 1339–1381. arXiv: math/0512562. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.170.1339.

[GMV]

S. Gelfand, R. MacPherson, and K. Vilonen. Microlocal Perverse Sheaves. arXiv: math/0509440.