代数的な微分作用素

代数的トポロジーを勉強し始めて最初に遭遇する微分作用素は, (co)chain complex の (co)boundary operator だろう。空間の singular cochain の場合は, 積構造と compatible, つまり derivation になっている。

• derivation

また, Wood [Woo97] によると, コホモロジー作用素も, 代数的な微分作用素の成す環を用いて考えることができる。 多項式環上の代数的な微分作用素の成す環は Weyl algebra と呼ばれる。 “Coordinate-free version” [DTT10] もある。

• Weyl algebra

Hivert と Thiery の [HT04] では, Wood の rational Steenrod algebra の \(q\)-deformed version が定義され調べられている。

• \(q\)-deformed Steenrod algebra

Bergeron と Garcia と Wallach [BGW] は, より一般的な作用素についても調べている。

もちろん代数的な微分作用素は, 代数幾何や代数解析など様々な分野で重要である。

• \(\mathcal{D}\)-module
• 代数解析

References

[BGW]

Francois Bergeron, Adriano Garsia, and Nolan Wallach. Harmonics for Deformed Steenrod Operators. arXiv: 0812.3566.

[DTT10]

Gabriel C. Drummond-Cole, John Terilla, and Thomas Tradler. “Algebras over \(\Omega (\mathrm{co}\mathbf{Frob})\)”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010), pp. 15–36. arXiv: 0807.1241.

[HT04]

F. Hivert and N. M. Thiéry. “Deformation of symmetric functions and the rational Steenrod algebra”. In: Invariant theory in all characteristics. Vol. 35. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 91–125. arXiv: 0812.3056.

[Woo97]

R. M. W. Wood. “Differential operators and the Steenrod algebra”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 75.1 (1997), pp. 194–220. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611597000324.