Weyl Algebra

Weyl algebra とは, \(n\) 変数多項式環 \(k[x_1,\ldots ,x_n]\) 上の偏微分作用素 \(\frac{\partial }{\partial x_1}, \ldots , \frac{\partial }{\partial x_n}\) で生成された非可換環である。

その automorphism group と endomorphism monoid が一致するというのが, Diximier conjecture という予想らしい。Adjamagbo ら [AE07] により, Jacobian conjecture との関係が明確にされた。

• Diximier conjecture
• Jacobian conjecture

Backelin [Bac] によると, 更に Belov-Kanel と Kontsevich [BK05] による予想もある。

• Belov-Kanel と Kontsevich の予想

Dickenstein と Matusevich と Miller の [DMM] では, Weyl algebra のある left ideal による quotient が調べられている。

Quatization とも関係があるらしい。例えば \(n=1\) のときは \[ k\langle x,y\rangle / (xy-yx-1) \] という非可換環であり, これは\(2\)変数の多項式環 \(k[x,y]\) の quantization とみなせる。

Bavula [Bav92; Bav96], Hodges [Hod93], Rosenberg [Ros95] により独立に導入された generalized Weyl algebra という一般化がある。 Mazorchuk ら [MT99; MPT03] による twisted generalized Weyl algebra というものもある。

• generalized Weyl algebra
• twisted generalized Weyl algebra

References

[AE07]

Pascal Kossivi Adjamagbo and Arno van den Essen. “A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures”. In: Acta Math. Vietnam. 32.2-3 (2007), pp. 205–214. arXiv: math/0608009.

[Bac]

Erik Backelin. Endomorphisms of quantized Weyl algebras. arXiv: 1007.2628.

[Bav92]

V. V. Bavula. “Generalized Weyl algebras and their representations”. In: Algebra i Analiz 4.1 (1992), pp. 75–97.

[Bav96]

Vladimir Bavula. “Tensor homological minimal algebras, global dimension of the tensor product of algebras and of generalized Weyl algebras”. In: Bull. Sci. Math. 120.3 (1996), pp. 293–335.

[BK05]

Alexei Belov-Kanel and Maxim Kontsevich. “Automorphisms of the Weyl algebra”. In: Lett. Math. Phys. 74.2 (2005), pp. 181–199. arXiv: math/0512169. url: https://doi.org/10.1007/s11005-005-0027-5.

[DMM]

Alicia Dickenstein, Laura Felicia Matusevich, and Ezra Miller. Binomial \(D\)-modules. arXiv: math/0610353.

[Hod93]

Timothy J. Hodges. “Noncommutative deformations of type-\(A\) Kleinian singularities”. In: J. Algebra 161.2 (1993), pp. 271–290. url: https://doi.org/10.1006/jabr.1993.1219.

[MPT03]

V. Mazorchuk, M. Ponomarenko, and L. Turowska. “Some associative algebras related to \(U(\mathfrak{g})\) and twisted generalized Weyl algebras”. In: Math. Scand. 92.1 (2003), pp. 5–30.

[MT99]

Volodymyr Mazorchuk and Lyudmyla Turowska. “Simple weight modules over twisted generalized Weyl algebras”. In: Comm. Algebra 27.6 (1999), pp. 2613–2625. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879908826584.

[Ros95]

Alexander L. Rosenberg. Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras. Vol. 330. Mathematics and its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1995, pp. xii+315. isbn: 0-7923-3575-9.