Constructible function と関連した話題

位相空間 \(X\) が “tame” な部分集合族 \(\mathcal{A}\) を持つとき, \(\mathcal{A}\) に属する集合の特性関数の和で書ける関数を constructible function という。

• tame collection of subsets
• characteristic function

当然, o-minimal geometry とも関連が深い。

元々は, real algebraic geometry や complex algebraic geometry, そして complex analytic geometry で導入され使われてきたものである。

その方面での文献としては, Schapira の [Sch91] がある。そこで は, Hironaka の [Hir73] に基づいて, subanalytic set の文脈で 述べられているが。 MacPherson の [Mac74] で constructible set や constructible function という言葉が用いられているが, これが最初なのだろうか。MacPherson は complex algebraic variety 上の関数に対して定義している。

近年 Ghrist らが, Euler標数に関する積分を工学の問題への応用する ことを考えていて, その文脈での解説 [CGR] も Curry と Ghrist と Robinson により書かれている。

• Euler calculus

Curry と Ghrist と Robinson の解説では, constructible sheaf についても述べられている。

• constructible sheaf

References

[CGR]

Justin Curry, Robert Ghrist, and Michael Robinson. Euler Calculus with Applications to Signals and Sensing. arXiv: 1202.0275.

[Hir73]

Heisuke Hironaka. “Subanalytic sets”. In: Number theory, algebraic geometry and commutative algebra, in honor of Yasuo Akizuki. Tokyo: Kinokuniya, 1973, pp. 453–493.

[Mac74]

R. D. MacPherson. “Chern classes for singular algebraic varieties”. In: Ann. of Math. (2) 100 (1974), pp. 423–432. url: https://doi.org/10.2307/1971080.

[Sch91]

Pierre Schapira. “Operations on constructible functions”. In: J. Pure Appl. Algebra 72.1 (1991), pp. 83–93. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(91)90131-K.