トポロジーと工学

トポロジーと工学と言った時に, まず思い出すのが Raoul Bott が工学出身であることである。“Electrical Network Theory” というタイトル [Bot49] で Carnegie Mellon 大学で学位を取っている。 トポロジーとは言えないが, electrical network と関係のある Lie群やLie algebra を Lam とPylyavskyy [LP] が定義している。Electrical Lie group (electrical Lie algebra) と名付けれらている。

Catanzaro と Chernyak と Kleinの [CCK] によると, 1950年代前後には, Kirchhoff の network theorem の algebraic topology による証明が何人かにより得られていたようである。 [Eck45; Rot55; NS61] など。 Catanzaro らは, グラフ, つまり1次元 cell complex を一般の cell complex にしたものを証明している。

Gromov と Guth [GG] によると, Kolmogorov と Barzdin は, 1960年代に logical network や neuron network を数学的に扱うことを考えていたようである。 その論文は, [Kol93] に収録されているそうである。

最近では, トポロジーと工学と言えば, 何といってもRobert Ghristである。 元々工学専攻で, 大学院では applied math で学位をとったようである。 そして, algebraic topology を始めとした数学の道具を自由に使いこなし, 具体的な工学の問題に応用して成果を挙げているのには目を見張るものがある。 彼のホームページから, 論文や解説が download できるので, 是非読んでみるとよい。 例えば, アメリカ数学会の Notices に “Homological Sensor Networks” という解説 [SG07b] を書いている。

2007年6月の最終週にシンガポールで braid の conference があり, そこで初めて Ghrist の講演を聞いた。工学の人は, 使えると分かったらどんなことでも貪欲に勉強して使いこなすようになるので, 彼らに「algebraic topologyは使える」ということを宣伝している, と言っていた。 その内容も presentation の技術もすばらしかったが, 「algebraic topology は使える」という言葉がうれしかった。

最近は, Ghrist は応用トポロジーという言葉を使っているようである。 “Elementary Applied Topology”という本 [Ghr14] も出版した。

• applied topology

Ghrist らによる algebraic topology の応用としては以下のようなことがある。

• 単体的複体のホモロジーの sensor network への応用 [SG07b; SG07a]
• グラフの configuration space のトポロジーのロボットの motion planning への応用 [Ghr01]
• geometric group theory と metamorphic robot [AG]
• contact topology の fluid dynamics への応用
• braidを用いたPDEの研究[GV09; Ghr06]

Sensor network の研究では, Rips complexという, 1920年代に Vietoris が使っていた単体的複体を用いている。 確率論的に考えている人 [Dec+] もいる。

• Rips complex (Vietoris-Rips complex)

Motion planing については, Daniel Cohen と Pruidze の [CP08] では, [Lat91; Sha97] が参考文献として挙げてある。

• motion planning

Adlerらの [Adl+] では, persistent homology が扱われている。

• persistent homology

これも, 応用のために開発された代数的トポロジー的な道具の一つである。 そこでは“applied algebraic topology”という言葉が使われていることから, このページに書いたようなことは一つの分野として確立してきたようである。

2012年には, AMS の Joint Mathematics Meeting で generalized cohomology の engineering への応用についての集まりが企画されている。 今のところ, 使われているのは\(K\)-theory までのようであるが今後の発展が面白そうである。

References

[Adl+]

Robert J. Adler, Omer Bobrowski, Matthew S. Borman, Eliran Subag, and Shmuel Weinberger. Persistent Homology for Random Fields and Complexes. arXiv: 1003.1001.

[AG]

A. Abrams and R. Ghrist. State complexes for metamorphic robots. arXiv: cs/0307004.

[Bot49]

Raoul Bott. ELECTRICAL NETWORK THEORY. Thesis (Ph.D.)–Carnegie Mellon University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1949, p. 55.

[CCK]

Michael J. Catanzaro, Vladimir Y. Chernyak, and John R. Klein. Kirchhoff’s theorems in higher dimensions and Reidemeister torsion. arXiv: 1206.6783.

[CP08]

Daniel C. Cohen and Goderdzi Pruidze. “Motion planning in tori”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 40.2 (2008), pp. 249–262. arXiv: math/0703069. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdn005.

[Dec+]

Laurent Decreusefond, Eduardo Ferraz, Hugues Randriam, and Anaı̈s Vergne. Simplicial Homology of Random Configurations. arXiv: 1103.4457.

[Eck45]

Beno Eckmann. “Harmonische Funktionen und Randwertaufgaben in einem Komplex”. In: Comment. Math. Helv. 17 (1945), pp. 240–255.

[GG]

Misha Gromov and Larry Guth. Generalizations of the Kolmogorov-Barzdin embedding estimates. arXiv: 1103.3423.

[Ghr01]

Robert Ghrist. “Configuration spaces and braid groups on graphs in robotics”. In: Knots, braids, and mapping class groups—papers dedicated to Joan S. Birman (New York, 1998). Vol. 24. AMS/IP Stud. Adv. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2001, pp. 29–40. arXiv: math/9905023.

[Ghr06]

Robert Ghrist. “Braids and differential equations”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. III. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 1–26.

[Ghr14]

Robert Ghrist. Elementary Applied Topology. Createspace, Sept. 2014. isbn: 9781502880857.

[GV09]

R. W. Ghrist and R. C. Vandervorst. “Scalar parabolic PDEs and braids”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 361.5 (2009), pp. 2755–2788. arXiv: math/0403308. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04823-X.

[Kol93]

A. N. Kolmogorov. Selected works of A. N. Kolmogorov. Vol. III. Vol. 27. Mathematics and its Applications (Soviet Series). Information theory and the theory of algorithms, With a biography of Kolmogorov by N. N. Bogolyubov, B. V. Gnedenko and S. L. Sobolev, With commentaries by R. L. Dobrushin, A. Kh. Shen\('\), V. M. Tikhomirov, Ya. M. Barzdin, Ya. G. Sinaı̆, V. A. Uspenski [V. A. Uspenskiı̆] and A. L. Semyonov, Edited by A. N. Shiryayev [A. N. Shiryaev], Translated from the 1987 Russian original by A. B. Sossinsky [A. B. Sosinskiı̆]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1993, pp. xxvi+275. isbn: 90-277-2798-8.

[Lat91]

Jean-Claude Latombe. Robot Motion Planning. Vol. 124. The Springer International Series in Engineering and Computer Science. Springer-Verlag, 1991, pp. xix+651. isbn: 978-0792391296.

[LP]

Thomas Lam and Pavlo Pylyavskyy. Electrical networks and Lie theory. arXiv: 1103.3475.

[NS61]

A. Nerode and H. Shank. “An algebraic proof of Kirchhoff’s network theorem”. In: Amer. Math. Monthly 68 (1961), pp. 244–247.

[Rot55]

J. P. Roth. “An application of algebraic topology to numerical analysis: on the existence of a solution to the network problem”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 41 (1955), pp. 518–521.

[SG07a]

Vin de Silva and Robert Ghrist. “Coverage in sensor networks via persistent homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 339–358. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.339.

[SG07b]

Vin de Silva and Robert Ghrist. “Homological sensor networks”. In: Notices Amer. Math. Soc. 54.1 (2007), pp. 10–17.

[Sha97]

Micha Sharir. “Algorithmic motion planning”. In: Handbook of discrete and computational geometry. CRC Press Ser. Discrete Math. Appl. CRC, Boca Raton, FL, 1997, pp. 733–754.